算法导论 — 思考题6-3 Young氏矩阵

（Young氏矩阵）在一个 $m×n$的Young氏矩阵(Young tableau)中，每一行的数据都是从左到右排序，每一列的数据都是从上到下排序的。Young氏矩阵中也会存在一些值为 $∞$的数据项，表示那些不存在的元素。因此，Young氏矩阵可以用来存储 $r ≤ mn$个有限的数。
　　a. 画出一个包含元素为{9, 16, 3, 2, 4, 8, 5, 14, 12}的4×4 Young氏矩阵。
　　b. 对于一个 $m×n$的Young氏矩阵 $Y$来说，请证明：如果 $Y[1, 1] = ∞$，则 $Y$为空；如果 $Y[m, n] < ∞$，则 $Y$为满（即包含 $mn$个元素）。
　　c. 请给出一个在 $m×n$ Young氏矩阵上时间复杂度为 $O(m+n)$的EXTRACT-MIN的算法实现。你的算法可以考虑使用一个递归过程，它可以把一个规模为 $m×n$的问题分解为规模为 $(m-1)×n$或者 $m×(n-1)$的子问题（提示：考虑使用MAX-HEAPIFY）。这里，定义 $T(p)$用来表示EXTRACT-MIN在任一 $m×n$的Young氏矩阵上的时间复杂度，其中 $p = m+n$。给出并求解 $T(p)$的递归表达式，其结果为 $O(m+n)$。
　　d. 试说明如何在 $O(m+n)$时间内，将一个新元素插入到一个未满的 $m×n$的Young氏矩阵中。
　　e. 在不用其他排序算法的情况下，试说明如何利用一个 $n×n$的Young氏矩阵在 $O(n^3)$的时间内将 $n^2$个数进行排序。
　　f. 设计一个时间复杂度为 $O(m+n)$的算法，它可以用来判断一个给定的数是否存储在 $m×n$的Young氏矩阵中。
　　
　　解
　　a.
　　
　　
　　b.
　　先给出Young氏矩阵的性质1：对于矩阵中的任意一个元素 $Y[i, j]$，如果 $i'≤i$并且 $j'≤j$，那么一定有 $Y[i',j']≤Y[i,j]$。下面我们来证明这个性质。
　　由于在同一行中，左边的元素不大于右边的元素，所以有 $Y[i',j']≤Y[i',j]$ (因为 $j'≤j$，所以 $Y[i',j']$位于 $Y[i',j]$的左边，或者二者是同一个元素)。又由于在同一列中，上边的元素不大于下边的元素，所以有 $Y[i',j]≤Y[i,j]$（因为 $i'≤i$，所以 $Y[i',j]$在 $Y[i,j]$的上边，或者二者是同一个元素）。综上所述，有 $Y[i',j']≤Y[i',j]≤Y[i,j]$。所以上述性质是成立的。
　　类似地，可以得到另外一个性质2：对于矩阵中的任意一个元素 $Y[i, j]$，如果 $i'≥i$并且 $j'≥j$，那么一定有 $Y[i',j']≥Y[i,j]$。
　　现在我们来看题目要求我们证明的结论。如果 $Y[1, 1] = ∞$，那么根据性质2， $Y$中任意一个元素都满足 $Y[i, j] ≥Y[1, 1] = ∞$ (因为 $i ≥ 1$并且 $j ≥ 1$)，即 $Y$中的所有元素都为 $∞$，所以 $Y$为空。
　　如果 $Y[m, n] < ∞$，那么根据性质1， $Y$中任意一个元素都满足 $Y[i, j] ≤ Y[m, n] < ∞$ (因为 $i ≤ m$并且 $j ≤ n$)，即 $Y$中的所有元素都不为 $∞$，所以Y为满。
　　
　　c.
　　根据上文性质2，Young氏矩阵中的任意一个元素必然满足 $Y[i, j] ≥ Y[1, 1]$，所以 $Y[1, 1]$一定是最小的元素。EXTRACT-MIN先将 $Y[1, 1]$取出，然后将 $Y[1, 1]$赋值为 $∞$，这时 $Y[1, 1]$有可能破坏Young氏矩阵的性质，可以用类似MIN-HEAPIFY的方法来维护Young氏矩阵的性质。
　　
　　YOUNG-MATRIX-EXTRACT-MIN中每次while迭代，要么让 $i$加 $1$，要么让 $j$加 $1$，最坏情况一直让 $i$加到 $m$并且 $j$加到 $n$为止。因此while迭代次数最多为 $m+n$。故YOUNG-MATRIX-EXTRACT-MIN的时间复杂度为 $O(m+n)$。下图给出了一个YOUNG-MATRIX-EXTRACT-MIN的例子。
　　
　　
　　d.
　　根据b的结论，如果一个Young氏矩阵未满，那么 $Y[m, n]$一定为 $∞$。将 $Y[m, n]$赋值为要插入的元素值，这样 $Y[m, n]$有可能违反Young氏矩阵的性质。然后采用类似最小堆的HEAP-DECREASE-KEY方法，来将 $Y[m, n]$交换到正确的位置。
　　
　　YOUNG-MATRIX-INSERT的时间复杂度与YOUNG-MATRIX-EXTRACT-MIN一样，都为 $O(m+n)$。下图给出了一个YOUNG-MATRIX-INSERT的例子。
　　
　　
　　e.
　　建立一个 $n×n$的Young氏矩阵，用INSERT将每一个元素依次插入矩阵中。每插入一个元素耗时 $O(n+n) = O(n)$，一共有 $n^2$个元素，因此插入所有元素耗时 $O(n^3)$。再调用EXTRACT-MIN依次提取出最小元素即可完成排序，这一步所花费的时间也为 $O(n^3)$。
　　
　　f.
　　假设要寻找的元素为 $x$。从Young氏矩阵左下角元素 $Y[m, 1]$开始搜索，分 $3$种情况：
　　1) $x > Y[m, 1]$
　　说明 $x$不可能出现在第 $1$列 (因为 $Y[m, 1]$为第 $1$列的最大元素)，只可能出现在第 $1$列的右边，所以现在忽略第 $1$列，以第 $2$列的最后一个元素 $Y[m, 2]$作为新的左下角元素重新进行搜索。
　　2) $x < Y[m, 1]$
　　说明 $x$不可能出现在第 $m$行 (因为 $Y[m, 1]$为第 $m$行的最小元素)，只可能出现在第 $m$行的上面，所以现在忽略第 $m$行，以第 $m-1$行的第一个元素 $Y[m-1, 1]$作为新的左下角元素重新搜索。
　　3) $x = Y[m, 1]$
　　已经找到所需元素。
　　按以上流程迭代，直到找到所需元素为止，或者直到新的左下角元素已经超出了Young氏矩阵的范围为止，这种情况说明矩阵中没有我们要找的元素。
　　
　　很明显，YOUNG-MATRIX-SEARCH的时间复杂度也为 $O(m+n)$。

本题的code链接。
　　https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter06/Problem_6-3