算法导论 — 思考题6-2 对d叉堆的分析

（对 $d$叉堆的分析） $d$叉堆与二叉堆很类似，但（一个可能的例外是）其中的每个非叶结点有 $d$个孩子，而不是仅仅 $2$个。
　　a. 如何在一个数组中表示一个 $d$叉堆？
　　b. 包含 $n$个元素的 $d$叉堆的高度是多少？请用 $n$和 $d$表示。
　　c. 请给出EXTRACT-MAX在 $d$叉最大堆上的一个有效实现，并用 $d$和 $n$表示出它的时间复杂度。
　　d. 给出INSERT在 $d$叉最大堆上的一个有效实现，并用 $d$和 $n$表示出它的时间复杂度。
　　e. 给出INCREASE-KEY( $A, i, k$)的一个有效实现。当 $k < A[i]$时，它会触发一个错误，否则执行 $A[i] = k$，并更新相应的 $d$叉最大堆。请用 $d$和 $n$表示出它的时间复杂度。
　　
　　解
　　a.
　　与二叉堆类似， $d$叉堆的元素也按照从上到下，从左到右的顺序在数组中排列。对于一个 $d$叉堆，第 $1$层有 $1$个元素，第 $2$层有 $d$个元素，第 $3$层有 $d^2$个元素……。
　　下面推导数组中每个元素的父结点下标和子结点下标。对于 $d$叉堆中第 $i$层的第 $j$个元素( $i$和 $j$都从 $1$开始)，假设它在数组中的下标为 $P(i, j)$，有
　　
　　元素 $P(i, j)$的父结点为第 $i-1$层的第 $⌈j / d⌉$个元素，该结点在数组中的下标为
　　
　　元素 $P(i, j)$的子结点在第 $i+1$层，并且第 $k$个子结点是第 $i+1$层的第 $d(j-1)+k$个元素。用 ${\rm CHILD}_d(i, j, k)$表示元素 $P(i, j)$的第 $k$个子结点在数组中的下标，有
　　
　　综上所述，假设 $d$叉堆中一个元素的数组下标为 $i$，将 $i$替换上面的公式中的 $P(i, j)$，得到该元素的父结点下标和子结点下标分别为
　　
　　我们可以将 $d = 2$代入上面的公式，得到二叉堆的元素 $i$的父结点下标为 ${\rm PARENT}_2 (i)=⌊i / 2⌋$，左孩子结点下标为 ${\rm LEFT}(i)={\rm CHILD}_2 (i,1)=2i$，右孩子结点下标为 ${\rm RIGHT}(i)={\rm CHILD}_2 (i,2)=2i+1$。这与6.1节给出的二叉堆公式完全一样，二叉堆只是 $d$叉堆的一个特例。
　　如果数组下标从 $0$开始，上面 $2$个公式应当变为
　　
　　b.
　　高度为 $h$的 $d$叉堆，最少元素个数和最多元素个数分别为
　　
　　所以，高度为 $h$的 $d$叉堆的元素个数 $n$满足以下不等式
　　
　　将上面的不等式乘以 $d-1$得到
　　
　　上面的不等式表明 $(d-1)n$位于区间 $[d^h, d^{h+1}-1]$内。在这个区间范围内，有 $⌊{\rm log}_d ((d-1)n)⌋=h$。所以，包含 $n$个元素的 $d$叉堆的高度为 $⌊{\rm log}_d ((d-1)n)⌋$。
　　我们也可以将 $d = 2$代入上面的高度公式，得到二叉堆的高度为 $⌊{\rm lg}n⌋$。这与练习6.1-2的结论完全一样。
　　
　　c.
　　先给出 $d$叉最大堆的D-MAX-HEAPIFY，与二叉最大堆是类似的。
　　
　　每次递归调用D-MAX-HEAPIFY需要进行 $d$次比较，而递归的次数最多等于堆的高度 $h$。因此D-MAX-HEAPIFY的时间复杂度为 $O(dh)=O(d⌊{\rm log}_d ((d-1)n)⌋)=O(d{\rm log}_d n)$。
　　下面给出 $d$叉最大堆的D-HEAP-EXTRACT-MAX。
　　
　　D-HEAP-EXTRACT-MAX的运行时间取决于D-MAX-HEAPIFY，时间复杂度也为 $O(d{\rm log}_d n)$。
　　
　　d.
　　
　　D-MAX-HEAP-INSERT的运行时间取决于D-HEAP-INCREASE-KEY，时间复杂度为 $O({\rm log}_d n)$。
　　
　　e.
　　
　　D-HEAP-INCREASE-KEY中的while迭代次数最多等于堆的高度，因此它的时间复杂度为 $O({\rm log}_d n)$。
　　
　　以下是本题的代码链接。
　　https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter06/Problem_6-2