算法导论 — 6.3 建堆

笔记

建堆的过程实际上是自底向上地对所有非叶结点调用MAX-HEAPIFY的过程。由于叶结点没有孩子，所以每一个叶结点都可以看是只包含一个元素的最大堆。而自底向上地调用MAX-HEAPIFY，是要保证在处理任意一个结点的时候，它的子树已经满足了最大堆性质，这是调用MAX-HEAPIFY的必要条件。
　　
　　BUILD-MAX-HEAP的运行时间为 $O(n)$。这一结果的推导过程可以参考书本上的描述，这里不做说明。
　　下图给出了一个构建最大堆的例子。
　　

练习

6.3-1 参照图6-3的方法，说明BUILD-MAX-HEAP在数组A = <5, 3, 17, 10, 84, 19, 6, 22, 9>上的操作过程。
　　解
　　

6.3-2 对于BUILD-MAX-HEAP中第2行的循环控制变量 $i$来说，为什么我们要求它是从 $⌊A.length/2⌋$到1递减，而不是从1到 $⌊A.length/2⌋$递增呢？
　　解
　　因为调用MAX_HEAPIFY(A, i)的先决条件是，结点 $i$的子树必须都已经满足最大堆条件。而节点 $i$的子树中的结点的下标都比 $i$要大，因此BUILD-MAX-HEAP中的循环控制变量 $i$必须是递减的。

6.3-3 证明：对于任一包含 $n$个元素的堆中，至多有 $⌈n/2^{h+1}⌉$个高度为h的结点？
　　解
　　首先考虑叶结点，它们的高度 $h = 0$，根据练习6.1-7的结论，含有 $n$个元素的堆的叶子结点的个数为 $n-⌊n/2⌋=⌈n/2⌉=⌈n/2^{0+1}⌉$。因此命题对 $h = 0$是成立的。
　　下面把原始堆 $H_0$中的叶结点去掉，剩下的元素仍然构成一个堆 $H_1$，并且 $H_1$中的叶结点就是 $H_0$中高度为 $1$的结点。堆 $H_1$的大小为 $⌊n/2⌋$，故 $H_1$中的叶结点个数为 $⌈⌊n/2⌋/2⌉≤⌈n/2^2 ⌉$。即原始堆 $H_0$中高度为 $1$的结点至多有 $⌈n/2^2 ⌉=⌈n/2^{1+1}⌉$个。因此，命题对 $h = 1$也是成立的。
　　下面把堆 $H_1$中的叶结点去掉，剩下的元素也构成一个堆 $H_2$，并且 $H_2$中的叶结点就是 $H_0$中高度为 $2$的结点。堆 $H_2$的大小为 $⌊⌊n/2⌋/2⌋$（因为堆 $H_1$的大小为 $⌊n/2⌋$，根据练习6.1-7的结论，堆 $H_1$中的非叶结点个数为 $⌊⌊n/2⌋/2⌋$）。堆 $H_2$中的叶子结点个数为 $⌈⌊⌊n/2⌋/2⌋/2⌉≤⌈n/2^3⌉$。即原始堆 $H_0$中高度为 $2$的结点至多有 $⌈n/2^3 ⌉=⌈n/2^{2+1}⌉$个。因此，命题对 $h = 2$也是成立的。
　　… …
　　以此类推，在一个大小为 $n$的堆中，高度为 $h$的结点至多有 $⌈n/2^{h+1}⌉$个。