向量范数的几何直观理解和等价定义——如何从几何上定义向量范数？

【一.向量范数的几何直观理解】
$\quad$我们知道，一个函数： $f:R^n\mapsto R$ 被称为 $R^n$空间的一个范数,如果它满足以下三条性质：（以下以 $\left\|\cdot\right\|$来代表这个函数）
$\quad$(1)正定性： $\left\|x\right\|\geq0,\forall x\in R^n$，且： $\left\|x\right\|=0\Longleftrightarrow x=0;$
$\quad$(2)齐次性： $\left\|cx\right\|=|c|\cdot\left\|x\right\|,\forall x\in R^n,c\in R;$
$\quad$(3)三角不等式： $\left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\|,\forall x,y\in R^n;$

$\quad$接下来，我们将从几何角度理解范数：首先，在有一个范数的情况下，我们可以在 $R^n$空间中画出一个单位球 $S\triangleq \{x|x\in R^n,\left\|x\right\|\leq1\}$.为了有一个简单的直观理解，我们给出二维情形下，几个常见范数的单位球图像：

$\quad$这个单位球显然有以下几个性质：
$\quad$(1)关于原点对称，即 $\forall x\in S,$均有 $-x\in S;$
$\quad$(2)是一个有界闭集，且零向量0是它的一个内点；
$\quad$(3)是一个凸集：这点由范数满足的三角不等式保证；

$\quad$范数的几何直观理解就是，如果一个非零向量 $x$的端点落在这个单位凸球的边界上，那么 $\left\|x\right\|=1$；否则，如果 $ax$的端点落在这个单位凸球的边界上，那么 $\left\|x\right\|=|\alpha|$.

【二.从几何上定义向量范数】
$\quad$一个重要结论是：几何上，一个范数和一个满足以上三个条件的凸球一一对应。也就是说，范数能定义一个单位凸球；反过来，如果有了一个满足以上三条性质的凸集，那么可以唯一定义一个向量范数。

$\quad$假设我们有了一个满足以上三个性质的凸集 $C$，定义一个映射：
$\quad$ $\left\|\cdot\right\|_{B}:R^n\mapsto R:\left\|x\right\|=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}$
$\quad$那么这个映射就是该凸集定义的一个向量范数。

$\quad$哈哈，上面这个式子是否很难理解呢？其实它理解起来很简单，和之前范数的几何理解一样：在我们定义这样一个凸集之后，如果一个非零向量 $x$的端点落在这个凸集的边界上，那么 $\left\|x\right\|=1$；否则，如果 $ax$的端点落在这个凸集的边界上，那么 $\left\|x\right\|=|\alpha|$.

$\quad$我们需要证明：这样定义的这个映射满足范数定义中的三条性质，这样才能说这个映射是一个向量范数。
$\quad$证明：
$\quad$(1)正定性：由定义， $\left\|x\right\|_B\geq0,\forall x\in R^n$自然地满足。由于零向量0是集合 $C$的一个内点，也就是说存在一个0的小领域包含于C，因此显然： $\left\|x\right\|_B=0\Longleftrightarrow x=0;$
$\quad$(2)齐次性： $\forall x\in R^n,c\in R,$
$\left\|cx\right\|_{B}=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot\left\|x\right\|_B$
$\quad$(3)三角不等式：
$\quad$设 $x,y\in R^n$,如果 $x,y$ 都为0，显然三角不等式成立；
$\quad$如果 $x ,y$至少有一个不为0，那么:
$\quad$ $\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{x}{\left\|x\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{y}{\left\|y\right\|_B}$
由 $\left\|\cdot\right\|_{B}$定义： $\frac{x}{\left\|x\right\|_B}\in C,\frac{y}{\left\|y\right\|_B}\in C.$
再联系到 $\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=1$, $C$是一个凸集，所以：
$\quad$ $\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\in C$,于是 $\left\|\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\right\|_B\leq 1$,于是 $\left\|x+y\right\|_B\leq\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B;$

综上，证毕。

从上面我们看到了：一个向量范数和一个 $R^n$空间的一个凸集一一对应。所以我们有了另一种定义向量范数的方式：画一个凸集即可（当然，这个凸集要满足上面说的几条性质），然后我们就可以说，看：我定义了一个向量范数。

很酷，不是吗？