title: 向量范数和矩阵范数
date: 2018-05-28 16:49:50
tags: [经常忘,数学]
categories: 概念
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范数
范数分为向量范数和矩阵范数，概念经常忘记，这里总结一下。
向量范数
对于向量\(x=[x_1,x_2,...,x_N]\)，其范数定义如下：
p-范数
\(\|x\|_p=(\sum_{i=1}^N|x_i|^p )^{1/p}\)
对向量元素绝对值的p次方求和后，再计算1/p次幂。
特殊地，当p取0，1，2，\(\infty\)，\(-\infty\)，时，对应范数意义如下。
0-范数
特殊地，数学中认为，向量的0范数即向量中非零元素个数。
1-范数
\(\|x\|_1=\sum\limits_{i=1}^N|x_i|\)
向量的1范数即向量中元素的绝对值之和。到原点的距离之和。
2-范数
\(\|x\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^N|x_i|^2\right)^{\frac12}\)
向量的2范数也称欧几里得范数，也就是通常说的向量长度。
\(\infty\)-范数
\(\|x\|_\infty=\max\limits_{i}|x_i|\)
向量的正无穷范数即向量元素绝对值中的最大值。到原点的最远距离。
\(-\infty\)-范数
\(\|x\|_{-\infty}=\max\limits_i|x_i|\)
向量的负无穷范数即向量元素绝对值中的最小值。到原点的最近距离。
矩阵范数
对于矩阵\(A=(a_{ij})_{m\ast n}\)，其范数定义如下：
0-范数
矩阵的0-范数同样标识矩阵中非零元素的个数。可以表示矩阵的稀疏程度。
1-范数
\(\|A\|_1=\max\limits_j\sum\limits_{i=1}^m|a_{ij}|\)
矩阵的1-范数，也称列和范数，即所有矩阵列向量的绝对值之和的最大值。
2-范数
\(\|A\|_2=\sqrt{\lambda_1}\)，\(\lambda_1\)是\(A^TA\)的最大特征值(所以说方阵才有2-范数)。
矩阵的2-范数，也称谱范数，即\(A^TA\)的最大特征值开平方。
\(\infty\)-范数
\(\|A\|_\infty=\max\limits_i\sum\limits_{j=1}^m|a_{ij}|\)
矩阵的\(\infty\)-范数，也称行和范数，即所有矩阵行向量的绝对值之和的最大值。
F-范数
\(\|A\|_F=\left(\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}^2\right)^{\frac12}\)
矩阵的F-范数，即Frobenius范数，矩阵元素的平方和再开平方。