计算机视觉中的多视图几何——第一章:2D摄影几何（3. 1D射影几何）)

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1.5 1D射影几何

直线射影几何 $IP^1$和平面射影几何 $IP^2$的推导几乎一致：

• 直线点 ： $(x_1,x_2)^T$，用 $\bm{\bar{x}}$来表示该二维向量；
• 理想点 ： $(x_1,0)^T$；
• 直线的射影变换为： $\bm{\bar{x}'} = H_{2 \times 2}\bm{\bar{x}}$

其中 ${2\times2}$齐次矩阵 $H_{2\times2}$为射影变换矩阵。矩阵四元素减去一个缩放因子，所以有三个自由度。每对点提供一个约束条件，因此三组对应点可以确定直线射影变换矩阵 $H_{2\times2}$；

交比：
交比是 $IP^1$的基本射影不变量，给定4个点 $\bm{\bar{x_i}}$,交比的定义如下：

其中：

交点的主要性质：

• 交比的值与个点 $\bm{\bar{x_i}}$所用的具体齐次表示无关，因为分子分母的缩放因子将进行抵消；
• 如果每一点 $\bm{\bar{x_i}}$都是有限点，并在齐次表示中均选择 $x_2=1$,那么 $|\bm{x_i}\bm{x_j}|$就表示有 $\bm{x_i}$到 $\bm{x_j}$的带符号的距离。
• 如果点 $\bm{x_i}$中有一个理想点，交比的定义仍然有效。
• 在任何直线的射影变换下，交比的值不变：如果有 $\bm{\bar{x}'} = H_{2 \times 2}\bm{\bar{x}}$，则：
  $Cross(\bm{\bar{x}'_1},\bm{\bar{x}'_2},\bm{\bar{x}'_3},\bm{\bar{x}'_4})=Cross(\bm{\bar{x}_1},\bm{\bar{x}_2},\bm{\bar{x}_3},\bm{\bar{x}_4})$

共点线： 共点线是直线上共线点的对偶。这意味着平面上的共点线也有几何 $IP^1$。特别是任何四条共点线都有一个确定的交比。

由于《计算机视觉中的多视图几何》一书中在第0篇中引入了较多的概念和推导，将有利于自己对后文的理解，于是博主第0篇的笔记会写的详细一些，这样条理更清楚，也有利于后期返回来查相关概念和推导。

参考资料:

1、《计算机视觉中的多视图几何》