计算机视觉中的多视图几何——第一章:2D摄影几何（4.从图形中恢复仿射和度量性质）

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射影矫正主要是为了消除平面的透视图中的射影失真，使得原始平面的相似性质能够被测量。在射影变换后的平面中， 当无穷远线 $\bm{I}_\infty$的像被确定之后，射影失真可消除，而虚圆点被确认之后，仿射失真可消除，仅剩相似失真。

一、仿射恢复

1.1 无穷远线

在射影变换下理想点可映射为有限点，无穷远线 $\bm{I}_\infty$可映射为有限直线。而在仿射变换下， $\bm{I}_\infty$依然映射为无穷远线。推导如下：

结论1 : 在射影变换 $H$下，无穷远直线 $\bm{I}_\infty$为不动直线的充要条件是 $H$是仿射变换。

仿射变换下， $\bm{I}_\infty$不是点点不动的，仿射变换 $\bm{I}_\infty$被映射为 $\bm{I}_\infty$的点，当它不是原来的点。只是无穷远线集合不动，而非点点不动。

1.2 由图像恢复仿射性质

根据结论1中无穷远线在仿射变换下为不动直线的性质。如果能够在射影变换所得的平面内找到无穷远直线的象（一般为有限直线），并通过重映射将该有限直线像重新变换为无穷远线，并将这种重映射推广至于整个平面，即可消除射影失真，恢复平面的仿射性质。

如图所示，原始平面 $\pi_1$射影变换所得平面为 $\pi_2$，如果能够在该 $\pi_2$平面能找到无穷远直线 $\bm{I}_\infty$=(0,0,1)^T的象，即有限直线 $\bm{I}$。且有限直线 $\bm{I}$通过矩阵 $H$的变换，能够重新转换为无穷远直线 $\bm{I}_\infty$，那么利用矩阵 $H$作用与整个 $\pi_2$平面，可以得到平面 $\pi_3$，所得平面与原始平面 $\pi_1$之间射影失真被消除，只存在仿射变换的关系。

当无穷远直线的象 $\bm{I}=(l_1,l_2,l_3)^T$，假定 $l_3\not=0$,那么 $\bm{I}$映射为 $\bm{I_\infty}=(0,0,1)T$的一个适合的变换为：
$H=H_A \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ l_1&l_2&l_3 \end{bmatrix}$
有： $H^{-T}(l_1,l_2,l_3)^T=(0,0,1)^T=\bm{I_\infty}$

注：射影变换可将理想点转换成平面内的有限点，将无穷远直线转换为有限直线;

• 消影点和消影线 :
  在平面的透视图像中，世界平面的无穷远直线被影像为该平面的消影线。消影点为世界平面上两平行直线相交的理想点在透视图像中的像，因此消影点位于消影线上。确定两个不同的消影点，即可确认出消影线。

• 消影点计算（代数法）：
  给定直线上有两个已知长度比的线段，该直线上的无穷远点便可以确认。

例如：当给定直线上的三点在世界坐标系下坐标为 $\bm{\bar{x}_1},\bm{\bar{x}_2},\bm{\bar{x}_3}$，射影变换后坐标为： $\bm{\bar{x}'_1},\bm{\bar{x}'_2},\bm{\bar{x}'_3}$，由于射影变换中任何共线四点的交比不变，在已知三点的情况下，将选取理想点作为世界坐标下的第四点 $\bm{\bar{x}_4}=(1,0)^T$，取消影点作为射影变换图像下的第四点 $\bm{\bar{x}_4'}$,根据交比不变可以计算消影点 $\bm{\bar{x}_4'}$的坐标；
$Cross(\bm{\bar{x}'_1},\bm{\bar{x}'_2},\bm{\bar{x}'_3},\bm{\bar{x}'_4})=Cross(\bm{\bar{x}_1},\bm{\bar{x}_2},\bm{\bar{x}_3},\bm{\bar{x}_4})$

• 消影点计算（几何法）：

利用几何作图法可以确定消影点位置：

二、虚圆点及其对偶

2.1 虚圆点

在相似变换下， $\bm{I_{\infty}}$上有两个不动点，他们是虚圆点（也称绝对点） $\bm{I,J}$,其标准坐标为：
$\bm{I}=\begin{bmatrix}1\\i\\0\end{bmatrix} ; \bm{J}=\begin{bmatrix}1\\-i\\0\end{bmatrix}$
结论2： 在射影变换 $H$下，虚圆点 $\bm{I}$和 $\bm{J}$为不动点的充要条件是 $H$为相似变换

任何圆都交 $\bm{I_\infty}$于虚圆点；当二次曲线为圆时，有a=c=1,且b=0,则：
$x_1^2+x_2^2+dx_1x_2+ex_2x_3+fx_3^2=0$
二次曲线与理想直线 $\bm{I_\infty}$相交时 $x_3=0$;即有：
$x_1^2+x_2^2=0$
求解，可得 $\bm{I}=(1,i,0)^T，\bm{J}=(1,-i,0)^T$,即任何圆都交 $\bm{I_\infty}$于虚圆点。由于二次曲线是需要5个点才能确认，而圆作为二次曲线的一种，只需要3个点就可以进行确认，而加上两个虚圆点后，同样是5个点。

2.2 与虚圆点对偶的二次曲线

二次曲线： $C^*_\infty=\bm{IJ}^T+\bm{JI}^T$
$C^*_\infty=\begin{bmatrix}1\\i\\0\end{bmatrix} (1,-i,0)+\begin{bmatrix}1\\-i\\0\end{bmatrix}(1,i,0) =\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$
由于虚圆点在相似变换下的不动性质，二次曲线 $C^*_\infty$在相似变换下也不变：
${C^*_\infty}'=H_s{C^*_\infty}H_s^T={C^*_\infty}$
结论3：对偶二次曲线 $C^*_\infty$,在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。
性质1： $C^*_\infty$有四个自由度；
性质2： $\bm{I_\infty}是C^*_\infty$*的零矢量；

2.3 射影平面的夹角

欧式几何中两直线的夹角有他们的法线点乘计算，直线 $\bm{I}=(l_1,l_2,l_3)^T$和 $\bm{m}=(m_1,m_2,m_3)^T$之间的夹角为：
$\cos\theta=\frac {l_1m_1+l_2m_2} {\sqrt{\smash[b]{(l_1^2+l_2^2)(m_1^2+m_2^2)}}}$
射影变换后，夹角计算公式为：
$\cos\theta=\cfrac { \bm{I}^TC_\infty^*\bm{m}} {\sqrt{\smash[]{ (\bm{I}^TC_\infty^*\bm{I}) (\bm{m}^TC_\infty^*\bm{m}) }}}$
结论4：一旦二次曲线 $C_\infty^*$在射影平面上能够被辨认，那么欧式叫可以用上式来测量；
结论5：如果 $\bm{I}^TC_\infty^*\bm{m}=0$则直线 $\bm{I}$和 $\bm{m}$正交;
**长度比：**一旦 $C_\infty^*$被辨认，长度比同样可以测量；

三、由图像恢复度量性质

对偶二次曲线 $C_\infty^*$几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分，而只留下相似变换的失真。

结论6：在射影平面上，一旦 $C_\infty^*$辨认， 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。