欧拉函数的定义
ϕ(n)：对于整数n，小于等于n、且与n互质的正整数的个数。
欧拉函数的计算方法
√n计算单值欧拉函数：计算ϕ(n)，分情况讨论。
1.当n=1时，很明显，答案为1。
2.当n为质数时，根据素数的定义，答案为n−1。
3.当n为合数时，对n进行质因数分解：设n=a1^p1∗a2^p2...∗ak^pk，
（1）假设k=1，即n=a1^p1、只有一个因数就是素数a1。
- 那么：ϕ(p^k)=p^k−p^(k−1)。
- 证明：容斥原理知，答案=n-与它不互素的数的个数，
- p是素数，在p^k中与其不互素的数为1∗p,2∗p....p^(k−1)∗p，共p^(k−1)个。
（2）当k≠1时，ϕ(n)=ϕ(a1^p1∗a2^p2...∗ak^pk)。
- 通过k=1求得的性质可知：
ϕ(n) = ∏(i=1~k)ai^Pi−ai^(Pi−1)
= ∏(i=1~k)(ai^Pi)*(1-1/ai)
= n∗∏(i=1~k)(1-1/ai)
= n∗∏(i=1~k)((ai-1)/ai);
int euler(int x){ int ans=x; for(int i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0){ ans=ans/i*(i-1); while(x%i==0) x/=i; } if(x>1) ans=ans/x*(x-1); return ans; //返回ϕ(x)的值 }
欧拉函数的性质
1.ϕ(n)为积性函数。即：gcd(a,b)=1时，ϕ(ab)=ϕ(a)*ϕ(b)。
积性函数：若一个定义在正整数域上的函数f(x)，
对于任意满足gcd(x,y)==1的x、y都有f(xy)=f(x)∗f(y)。
常见积性函数：莫比乌斯函数μ(n)，欧拉函数ϕ(n)，
一个数n的约数个数d(n)，一个数n的约数和σ(n)，f(x)=x^k(k∈N)......
证明欧拉函数是积性函数：
狄利克雷卷积：若 f(x),g(x) 都是积性函数，则狄利克雷卷积 h(x)=∑(d|x)f(d)*g(x/d) 。
- 性质：若f(x),g(x)都是积性函数，则狄利克雷卷积也是积性函数。
积性函数的性质：任意积性函数都可以线性筛（在严格O(n)时间复杂度内筛出）。
2.∑(d|n)ϕ(d)=n。
3.1到n中与n互质的数的和为n∗ϕ(n)/2 (n>1)。
- 证明：若gcd(n,i)=1，那么gcd(n,n−i)=1。
- 即，与n互质的数都是成对出现的。且每一对的和都为n。
4. a^(ϕ(n))≡1(modn)。
欧拉函数的线性筛法
利用三个性质：
性质1 若p为素数，则φ(p)=p−1。
性质2 若i mod p≠0 ，且p为素数，则φ(i∗p)=φ(i)∗φ(p)=φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)。
性质3 若i mod p=0 ，且p为素数，则φ(i∗p)=φ(i)∗p。详情见 这里
int phi[MAXN],vis[MAXN],prime[MAXN],tot=0; void GetPhi(int n){ phi[1]=1; //特例：ϕ(1)=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!vis[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1; //i是素数（1） for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){ //枚举“i*质数” vis[i*prime[j]]=1; //标记“i*质数”为合数 if(i%prime[j]==0) //（3）注意这里可以直接break; {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;} else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); }//（2） } for(int i=1;i<=n;i++) cout<<phi[n]<<endl; }