虚树，就是不真实的树。往往出现在一类树形动态规划问题中。
换句话说，虚树就是为了解决一类树形动态规划问题而诞生的。
【例题1】[SDOI2011]消耗战
- 给出一棵树，每条边有边权。有m次询问，每次询问给出k个点。
- 问使得这k个点均不与1号点(根节点)相连的最小代价。
- 数据范围：n<=250000, m>=1, ∑k<=500000。
[暴力dp] 首先考虑m=1，也就是只有一次询问的情况。
我们考虑暴力dp：设f[x]为处理完以x为根的树的最小代价。
转移分为两种情况：1.断开自己与根的联系，代价为从根到该节点的最小值；
2.若该节点不是询问点、不考虑断开，求断开子树内的所有询问点的最小代价；
但是这样的复杂度是O(nm)的，显然无法AC。
然而我们发现∑k是比较小的，可不可以对k下手呢？于是，虚树诞生了。
虚树的主要思想：对于一棵树，仅仅保留有用的点，重新构建一棵树。
- 这里有用的点指的是询问点和它们的lca。
比如这样的一棵树：
对于样例中的三次询问：
3
2 10 6 4 5 7 8 3 3 9 4 6
那么它的虚树分别长这样：
- 注意：图二中，断了5就一定会断了7、8，所以不用考虑7、8。
得到了询问点，考虑如何构造出一棵虚树。
首先要先对整棵树dfs一遍，求出dfs序，每个节点以dfs序为关键字从小到大排序。
同时 维护一个栈，表示 从根到栈顶元素这条链 。
假设当前要加入的节点为p，栈顶元素为x=s[top]，lca为他们的最近公共祖先。
因为我们是按照dfs序遍历，因此lca不可能是p。
那么现在会有两种情况： 1. lca是x，直接将p入栈。
2. x,p分别位于lca的两棵子树中，那么此时x这棵子树已经遍历完毕。
上述2中，如果没有遍历完毕，则x的子树中还有一个未加入的点y，
但是dfn[y]<dfn[p]，即：应先访问y。所以没有遍历完毕。
当x这棵子树已经遍历完毕时，我们需要对其进行构建。
设栈顶元素为x，栈顶第二个元素为y（到达x的某一条链）。
若dfn[y]>dfn[lca]，可以连边y—>x，将x出栈；
若dfn[y]=dfn[lca]，即y=lca，连边lca−>x，子树构建完毕；
若dfn[y]<dfn[lca]，即lca在y,x之间，连边lca−>x，x出栈，lca入栈，子树构建完毕。
不断重复这个过程，虚树就构建完成了。另外需要维护链上最小值，然后直接在虚树上dp。
- 借某大佬的图解：
代码实现：