模型介绍
关于回归问题的模型，相当于给一些x（自变量），y（因变量）的数据对构成的数据集，去建立一个数学函数模型（model），之后就能根据这个函数模型，给出x（自变量条件）之后，预测出y（因变量结果）的值。
这里对于条件特征定义为x，结果定义为y。
Training Set（训练集）--> Learning Algorithm（学习算法） --> h（假设函数）
然后在得到h之后，可以通过：
x（条件特征）--> h（假设函数） --> y（结果）
针对于这个思想和基本模型，可以利用比较多的数学上的统计方法做出模型。
代价函数
对于线性模型，我们常使用如下这个假设函数模型：
\[ h_θ(x)=θ_0+θ_1x \]
对于这个线性的假设函数，如何得到一个合适的θ0和θ1是的这个假设函数更契合我们需要预测的东西就至关重要了，这里就需要用到所谓的代价函数。
平方误差代价函数（数学定义）
我们希望\(h_θ(x^{(i)})-y^{(i)}\)尽可能的小，对于一整个样本集合，可以使用以下的式子：
\[ J(θ_0,θ_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m} {(h_θ(x^{(i)})-y^{(i)})^2} \]
其中m是样本容量，也就是样本数据的总数，之所以有个1/2的存在是因为对于\(J(θ_0,θ_1)\)需要求得最小值，就需要采用求导的方式，而构造的方式是误差平方和就会出现一个系数2，可以相互消去，计算会更加方便。
分析
为什么要对\(J(θ_0,θ_1)\)求得最小值，首先目的在于使得\(h_θ(x)\)这条函数曲线最符合数据集，在θ0=0的时候，根据图像很容易的就能看出最符合数据集的曲线\(h_θ(x)\)的斜率θ1为参数的\(J(θ_1)\)最接近0（当所有样本点全在曲线\(h_θ(x)\)上时,\(J(θ_1)\)=0）。
若两个参数都不为0的时候，其代价函数\(J(θ_0,θ_1)\)可以被描绘为如下的图形，其最小值依然代表最合适的曲线\(h_θ(x)\)系数取值。
其通过等高线图描绘为如下：
梯度下降算法
定义
通过代价函数的意义，可以知道目的在于求得代价函数取得最小值时θ的取值，这就引入梯度下降算法。梯度下降算法通过设定初始值，然后从初始值慢慢逼近结果，利用迭代思想有点类似于求局部最优进而得到全局最优的结果（贪心），这里的全局最优指的是极小值而不是最小值。(其实这也是一种局部最优)
原课中打了一个很有意思的比方：
一个人在山顶（初始值），想要用最快的速度下山（到达极小值点），首先做的就是观察四周，寻找目光所及的最小值点，然后移动下山，在新的地点反复这个操作。
数学分析
将以上的操作转换为数学语言就是（一个单变量线性回归的梯度下降算法式）：
\[ θ_j:=θ_j-α\frac{∂}{∂θ_j}J(θ_0,θ_1) \]
\[ (for (j=0) and (j=1)) \]
- (:=)符号是赋值的意思，
pascal的记忆 - α是学习率，从函数可以看出，α越大，函数变化的幅度就越大，也就能越快的到达目标值，也就代表着下山越快，如果α比较小的话，下山速度就会比较慢，其实对于导数的性质，当取到极小值的时候，导数值为0，这就是算法的边界。
- 关于计算这个是同步赋值，也就是说，各个参数是统一计算完，再一起赋值。与之对应的是异步赋值。
单变量线性回归
利用以上算法，我们可以得到最后的单变量线性回归的计算式子（由于单变量线性回归函数的图像特点，最后必然是全局最优点）：
\[ h_θ(x)=θ_0+θ_1x \]
\[ J(θ_0,θ_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m} {(h_θ(x^{(i)})-y^{(i)})^2} \]
\[ θ_0:=θ_0-α\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} {(h_θ(x^{(i)})-y^{(i)})} \]
\[ θ_1:=θ_1-α\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} {(h_θ(x^{(i)})-y^{(i)})·x^{(i)}} \]