51nod 1171 两个数的平方和

先考虑素数 $p$ 的平方和：

当 $p=2$ 时，显然只有唯一解 $2=1^2+1^2$ ；
当 $p\equiv 3 \mod 4$ 时，显然无解，因为任何数的平方模 $4$ 只可能为 $0,1$ ；
当 $p\equiv 1\mod 4$ 时，由于此时 $-1$ 必然是 $p$ 的二次剩余，设 $x^2\equiv -1\mod p$ ，有：
$x^2+1\equiv 0\mod p\\ (\alpha+i)(\alpha-i)\equiv 0 \mod p$
注意到 $p(a+bi)=pa+pbi$ ，而 $\alpha +1$ 和 $\alpha -1$ 显然不满足这种形式，所以 $p$ 的因子同时存在于他们之中，即 $p$ 不是高斯素数。则：
$p=\alpha\beta|\alpha,\beta\neq 1\\ p^2=\alpha^2\beta^2$
因为 $p$ 是素数，所以：
$\alpha^2=\beta^2=p\\ |a+bi|=|c+di|=p\\ a^2+b^2=c^2+d^2=p$
故此时 $p$ 能够成为两个数的平方和，同时这一对数唯一且共轭，否则将与唯一分解定理相悖。

接着考虑合数的平方和：

我们直接将 $n$ 写成高斯素数的分解形式，那么：
当 $p=2$ 时， $p=(1+i)(1-i)=i(1+i)^2=(1+i)^2$ ；
当 $p\equiv 3 \mod 4$ 时，用之前的分析方式可以发现其一定是高斯素数，即 $p=(p+0i)=p$ ；
当 $p\equiv 1\mod 4$ 时， $p=\alpha\overline{\alpha}$ 。
即：
$n=(1+i)^{2A}\prod_{k=0}^Bp_k^{d_k}\prod_{j=0}^C(a_j+b_ji)^{q_j}(a_j-b_ji)^{q_j}$
注意到如果 $a^2+b^2=n$ ，那么 $n=(a+bi)(a-bi)$ ，即 $n$ 的一对共轭因数。那么我们将其中一个因数写出来：
$\alpha =(1+i)^{a}\prod_{k=0}^Bp_k^{b_k}\prod_{j=0}^C(a_j+b_ji)^{c_j}(a_j-b_ji)^{d_j}\\ a\le 2A,b_k\le d_k,c_j,d_j\le q_j$
接着将他的共轭写出来（ $1-i=i(1+i)=1+i$ ）：
$\overline \alpha=(1+i)^{a}\prod_{k=0}^Bp_k^{b_k}\prod_{j=0}^C(a_j+b_ji)^{d_j}(a_j-b_ji)^{c_j}$
可以发现，为了满足条件， $a$ 和 $b_k$ 已经确定了，他们必须为 $A$ 和 $\frac{d_k} 2$ ，所以 $d_k$ ，即模 $4$ 余 $3$ 的素数的幂必须为偶数。剩下的可选项只有 $d_j,c_j$ ，注意到他们必须满足 $c_j+d_j=q_j$ ，即 $q_j+1$ 种选择，所以我们可以得到 $n$ 的二平方和的方案数（非本质不同）为 $4\prod_{j=0}^C(q_j+1)$ 。而对于求所有解，只需要将 $n$ 分解之后对 $c_j,d_j$ 暴力即可。

那么还需要解决的问题就是求出 $p\equiv 1 \mod 4$ 时的二平方和的解，继续设 $x^2\equiv -1\mod p$ ，那么我们有：
$a^2+1=mp$
考虑将 $m$ 减少，并同时保持左边的平方和合法。我们将在处理的式子当作：
$a^2+b^2=mp$
那么设：
$a\equiv x\mod m\\ b\equiv y \mod m$
有：
$x^2+y^2=km\\ (a^2+b^2)(x^2+y^2)=pm^2k\\ (ax+by)^2+(ay-bx)^2=pm^2k$
注意到：
$ax+by\equiv x^2+y^2\equiv 0\mod m\\ ay-bx\equiv xy-yx\equiv 0\mod m$
最终有：
$(\frac {ax+by}m)^2+(\frac {ay-bx} m)^2=kp$
因为 $-\frac m 2<x,y\le \frac m 2$ ，所以：
$x^2+y^2=km\le \frac{2m^2}4=\frac {m^2} 2\\ k\le \frac m 2$
由此，我们可以在 $O(logp)$ 下求出 $a^2+b^2=p$ 的一组解。

最后计算一下暴力产生的复杂度，考虑最坏情况，即 $n$ 都由模 $4$ 余 $1$ 的素数组成时， $4\prod_{j=0}^C(q_j+1)=\sigma(n)=O(\sqrt n)$ ，但对于满足条件的素数，这个界是非常松的：
由 $20!>10^{18}$ ，知道前20个模 $4$ 余 $1$ 的素数的积必然大于 $10^{18}$ ，同时我们知道，对于给定的 $K$ ，当 $MAX\{a_i\}-MIN\{a_j\}\le 1$ 时， $\prod_{i=0}^na_i|\sum_{i=0}^na_i=K$ 得到最大值，同时显然的，最大因子数随幂数和递增，于是我们计算幂数和为 $\lceil log_510^{18}\rceil=26$ 时的最大因子数，即 $3^6\times2^{14}=11943936$ 。所以由模 $4$ 余 $1$ 的素数组成的不大于 $10^{18}$ 的数的因子数不会超过 $11943936$ ，当然实际的值会比这个值小很多。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
//--Container
//--
typedef __int128 ll;

ll qni(ll a,ll b,ll md){
    ll r=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%md)if(b&1)r=r*a%md;
    return r;
};
ll _P,_W;
struct vt{
    ll a,b;
    vt(ll _a=0,ll _b=0):a(_a),b(_b){};
    friend vt operator*(vt&,vt&);
};
vt operator*(vt&a,vt&b){
    return vt((a.a*b.a+_W*a.b%_P*b.b)%_P,(a.a*b.b+a.b*b.a)%_P);
};
vt vqni(vt a,ll b){
    vt r(1,0);for(;b;b>>=1,a=a*a)if(b&1)r=r*a;
    return r;
};
inline ll _ck(ll n){n%=_P;return (n+_P)%_P;};
ll _xq(ll x,ll n){
    if(qni(x,(n-1)>>1,n)==n-1)return -19260817;
    ll t;for(_P=n;;){
        t=rand();if(qni(_ck(t*t-x),(n-1)>>1,n)==n-1)break;
    }
    _W=_ck(t*t-x);
    return vqni(vt(t,1),(n+1)>>1).a;
};

struct vi{
    ll a,b;
    vi(ll _a=0,ll _b=0):a(_a),b(_b){};
    friend vi operator*(vi,vi);
};
vi operator*(vi a,vi b){
    return vi(a.a*b.a-a.b*b.b,a.a*b.b+a.b*b.a);
};
void _dss(ll&a,ll&b,ll m){
    ll x,y,t,k,d;for(;m>1;){
        x=a%m,y=b%m;
        if(x>m/2)x-=m;
        if(y>m/2)y-=m;
        k=(x*x+y*y)/m;
        d=(a*x+b*y)/m,t=(a*y-b*x)/m;
        m=k,a=d,b=t;
    }
};
void _p1s(ll p,ll&a,ll&b){
    ll t=_xq(p-1,p);int i,j,k,d;
    _dss(a=t,b=1,(t*t+1)/p);
};

//--TEMPLATE
const int S=2;
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    ll ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
        a<<=1;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)
{
    if(n==1)return x%mod;
    x%=mod;
    ll tmp=x;
    ll ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
ll check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1 && last!=1 &&last!=n-1)return true;
        last=ret;
    }
    if(ret!=1)return true;
    return false;
}
bool Miller_Rabin(ll n)
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2)return true;
    if((n&1)==0)return false;
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-1)+1;
        if(check(a,n,x,t))
            return false;
    }
    return true;
}

ll factor[100];
int tol;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(a==0)return 1;
    if(a<0)return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        ll t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

ll Pollard_rho(ll x,ll c)
{
    ll i=1,k=2;
    ll x0=rand()%x;
    ll y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x)return d;
        if(y==x0)return x;
        if(i==k)
        {
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}

void findfac(ll n)
{
    if(Miller_Rabin(n))
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    ll p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}
//--https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/11/11/2765525.html

int sm[70],pn;vi vr[70][70];ll n;
vi rss[1000010];int rsn;
vi _cl(bool&fg){
    int i,j,k,d,t;vi rs(1,0);ll a,b,dn=n,qs;for(pn=i=0;i<tol;++i){
        for(qs=1,d=0;!(dn%factor[i]);dn/=factor[i],++d);
        if(factor[i]==2){
            vi tz(1,0);for(j=0;j<d;++j)tz=tz*vi(1,1);
            rs=rs*tz;
        }
        else if(factor[i]%4==3){
            if(d&1){fg=0;return vi(19260817,19260817);}
            for(qs=1,j=0;j<(d>>1);++j,qs*=factor[i]);
            rs=rs*vi(qs,0);
        }
        else{
            sm[pn]=d;vi tz(1,0);_p1s(factor[i],a,b);for(j=d;j>=0;--j,tz=tz*vi(a,-b))
                vr[pn][j]=tz;
            for(tz=vi(1,0),j=0;j<=d;++j,tz=tz*vi(a,b))
                vr[pn][j]=vr[pn][j]*tz;
            ++pn;
        }
    }
    return rs;
};
void dfs(int d,vi rs){
    if(d==pn){rss[rsn++]=rs;return;}
    int i;for(i=0;i<=sm[d];++i){
        dfs(d+1,rs*vr[d][i]);
    }
};

bool vimp(const vi&a,const vi&b){
    return a.a==b.a?a.b<b.b:a.a<b.a;
};

void _sca(ll&n){
    n=0;char t;for(t=getchar();t<'0'||t>'9';t=getchar());
    n=t-'0';for(t=getchar();t>='0'&&t<='9';t=getchar())
        n=n*10+t-'0';
};
void _prt(ll n){
    if(n>9)_prt(n/10);
    putchar(n%10+'0');
};

void cl(){
    int i,j,k;_sca(n);findfac(n);
    sort(factor,factor+tol);tol=unique(factor,factor+tol)-factor;
    bool fg=1;vi rs=_cl(fg);
    if(!fg)printf("No Solution\n");
    else{
        rsn=0;dfs(0,rs);
        for(i=0;i<rsn;++i){
            rss[i].a=abs(rss[i].a),rss[i].b=abs(rss[i].b);
            if(rss[i].a>rss[i].b)swap(rss[i].a,rss[i].b);
        }
        for(sort(rss,rss+rsn,vimp),i=0;i<rsn;i=j){
            for(j=i+1;j<rsn&&rss[i].a==rss[j].a&&rss[i].b==rss[j].b;++j);
            _prt(rss[i].a);putchar(' ');_prt(rss[i].b);putchar('\n');
        }
    }
};

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    cl();
    return 0;
};

51nod 1171 两个数的平方和

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