最长不下降子序列O(N*logN)

此篇文章为洛谷ID108949的用户的文章搬运。（系用户本人操作）

update on 2018/12/31：请自行查阅最长不上升子序列的函数(not_upper_bound)手写写法。（由于我不会写）

前言

此篇文章的完整性和正确性不能保证。不注明出处严禁转载。OI的学术环境，我们共同维护。

1.序言

1.1 简述

2.警告

3.$N*log(N)$实现方法

- 3.1 思路
- 3.2 代码

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## 序言

### 简述

最长不下降子序列（及其延展）是OI中的比较普遍的考点。其含义是，在一个数组中，找出最长的可以不连续的一个序列使得该序列是一个不下降序列。

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## 警告

此文章默认为学习过$n^2$算法的选手学习。

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## $N*logN$实现方法

### 思路

$N*logN$方法是：设f[i]表示长度为i、处在该数组中不下降子序列的最后一个元素。那么f[]一定是一个单调的序列。（既然不下降那一定单调）

具体做法是，

定义数组f[],a[]（作用我们之前讲过）和len（记录最长不下降子序列的长度）。

然后从1到n循环，如果`f[len]<a[i]`，（当时直接可以接在后面，不冲突）那么说明可以接到`f[len]`后面，即:`f[++len]=a[i]`。

刚才我们讲到`f[len]<a[i]`的情况。如果`f[len]>=a[i]`呢？

这时候就用二分查找（推荐能用`upper_bound`和`lower_bound`就用）来找到第一个`f[j]>=a[i]`的位置并替换它（使得第`j`项尽可能的小，这样才可能接上更长的序列，不明白的可以手动模拟一下`a[]=1 5 2 3 4`这组数据）。

`upper_bound`使用方法

`upper_bound`返回的是单调不下降序列一个**左闭右开**的区间$[first,last)$里第一个大于`keyword`的元素的物理位置（即迭代器位置，通常为`0x3424f3f`不拉不拉的一大堆），所以计算成下标**应该减去数组首元素地址（即数组名）**。**如果没有找到，返回`last`。（此时下标越界！！！！）**

如输出在g数组第3个到第7个查找大于15的第一个元素下标，代码是

```cpp
cout<<upper_bound(d+3,d+7+1,25)-g;
```

`lower_bound`的使用方法和`upper_bound`基本相同。只是`lower_bound`查找的是序列中第一个大于等于`keyword`的位置罢了。（最长不下降用`lower_bound`）
### 代码（最长上升子序列）

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size=10003;//此处可以自定义
int len,f[size],n,a[size];
int main()
{
cin>>n;
if(n==0)
{
cout<<0;
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
f[1]=a[1];
len=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(a[i]>f[len])f[++len]=a[i];
else 
{
int j=upper_bound /*最长不下降改成lower_bound*/ (f+1,f+1+len,a[i])-f;
f[j]=a[i];
}
}
cout<<len;
return 0;
}

最长不下降子序列O(N*logN)

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