最长上升子序列O(nlogn)解法
在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增子序列。
设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：
dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].
考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一样时，尽量选择更小的a[x].
按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设g[k]记录这个值，g[k]=min{a[t],dp[t]=k}。
这时注意到g的两个特点（重点）：
1. g[k]在计算过程中单调不升；
2. g数组是有序的，g[1]<g[2]<..g[n]。
利用这两个性质，可以很方便的求解：
(1).设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：
(2).若x>g[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）
否则，在g中二分查找，找到第一个比x小的数g[k]，并g[k+1]=x，在这里x<=g[k+1]一定成立（性质1,2）。
代码实现如下：
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 50001; int binary_search(int key, int *g, int low, int high) { while (low < high) { int mid = (low + high) >> 1; if (key >= g[mid]) low = mid + 1; else high = mid; } return low; } int main() { int i, j, a[maxn], g[maxn], n, len; while (cin >> n) { memset(g, 0, sizeof(g)); for (i = 0; i < n; i++) cin >> a[i]; g[1] = a[0], len = 1;//初始化子序列长度为1，最小右边界 for (i = 1; i < n; i++) { if (g[len] < a[i])//(如果允许子序列相邻元素相同 g[len]<=a[i],默认为不等） j = ++len; //a[i]>g[len],直接加入到g的末尾,且len++ else j = binary_search(a[i], g, 1, len + 1); g[j] = a[i];//二分查找,找到第一个比a[i]小的数g[k],并g[k+1]=a[i] } cout << len << endl; } return 0; }