最长不下降子序列的O(n^2)算法和O(nlogn)算法

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概念定义：

设有一个正整数序列$a[n]$: $a_1, a_2, ..., a_n$ ,对于下标$i_1 < i_2 < ... < i_h$,若有$a_{i_1}, a_{i_2}, ..., a_{i_h}$, 则称序列$a[n]$含有一个长度为h的不下降子序列。

例如，对于序列3 7 9 16 38 24 27 38 44 49 21 52 63 15
对于下标 $i_1=1,i_2=4,i_3=5,i_4=9,i_5=13$, 满足

$$13 < 16 < 38 < 44 < 63$$
则存在长度为5的不下降子序列。

问题描述：

当给定序列$a_1, a_2, … a_n$后，求出最长的不下降序列的长度？

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解法

简单的O(n^2)的算法

对于任意的$i$, 定义$d[i]$是以$a_i$结束的最长不下降子序列的长度，那么显然，问题的解为d[n]。
不妨假设，已求得以$a_1, a_2, ... , a_{j-1}$结束的最长不下降子序列的长度分别为$d[1], d[2], ..., d[j-1]$,其中$d[1]=1$。
那么对于$a_i$，其中$i < j-1$, 若$a_ i\leq a_j$，则以$a_i, a_j$结束的不下降子序列长度为的$d[i]+1$，显然$a_i$结束的最长不下降子序列的长度

$$d[j] = max(d[i])+1$$
其中 $1 \leq i \leq j-1, a_i \leq a_j$。
更新公式中每次都得从头遍历整个d[i]，所以算法复杂度为O(n^2)

复杂点的O(nlogn)算法

O(nlogn)的算法关键是它建立了一个数组b[]，b[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值，用k表示数组目前的长度，算法完成后k的值即为最长不下降子序列的长度。
具体点来讲：
不妨假设，当前已求出的长度为k，则判断a[i]和b[k]：

1. 如果$b[k] \leq a[i]$，即a[i]大于长度为k的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即k=k+1,然后更新b[k]=a[i]；

2. 如果$b[k] > a[i]$，那么就在b[1]…b[k]中找到最大的j,使得b[j] < a[i]，即a[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，显然，b[j+1] $\ge$a[i]， 那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，即b[j+1]=a[i]。

可以注意到：b[i]单调递增，很容易理解，长度更长了，d[k]的值是不会减小的，更新公式可以用二分查找，所以算法复杂度为O(logn)。