最长不下降子序列及输出序列

引入

回忆一下，以前学动态规划是的最长不下降子序列，我们是如何地推的呢？？？

First

$2^n$暴力，判断每个是否选择输出最大值。

Second

记忆化搜索，时间复杂度待定。

Third

$n^2$动态规划，代码如下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1010],n,f[1010],ans;
int main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1;i <= n;++i)
		scanf("%d",a + i);
	for (int i = 1;i <= n;++i)
	{
    
    
		f[i] = 1;
		for(int j = 1;j < i;++j)
		{
    
    
			if (a[j] <= a[i] && f[i] < f[j] + 1)
				f[i] = f[j] + 1;
		}
		if(f[ans] < f[i])
			ans = i;
	}
	printf("%d\n",f[ans]);
	return 0;
}

可是，当$n$很大时，$n^2$也过不了，那这么办呢？？？

思路

利用序列的单调性

对于任意一个单调序列，如 $12345$（是单增的），若这时向序列尾部增添一个数 $x$，若 $x>5$，增添成功，反之则失败。
　　由于普通代码是从头开始比较，而 $x$和 $1,2,3,4$ 的大小比较是没有用处的，这种操作只会造成时间的浪费，所以效率极低。
　　优化方法就是新开一个数组 d，用它来记录每个序列的末尾元素，以求最长不下降为例，$d_k$ 表示长度为k的不下降子序列的最小末尾元素。
　　我们用 $cnt$表示当前最长序列长度，也就是当前$d$中的最后那个位置。
　　于是对于每个$a_i$我们都找到一个刚刚比它大的$d_i$，可以证明这一定是最优解。
　　输出最后$cnt$。

朴素时间

$O(N^2)$

二分优化：

当我们再找对于每个$a_i$我们都找到一个刚刚比它大的$d_i$ 时，我们可以利用单调性二分。
$O(N\ast log(n))$

代码：

    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        int t=lower_bound(d,d+cnt+1,a[i]) - d;
        if(t>cnt) cnt=t;
        d[t]=a[i];
    }//最后输出cnt

输出序列：

    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        int t=lower_bound(d,d+cnt+1,a[i]) - d;
        if(t>cnt) cnt=t;
        f[i]=t;//f数组代表第i个位结尾的最长不下降子序列长度
        d[t]=a[i];//当长度最大时记录d数组就是序列
    }

例题：

【NOIP2013模拟联考10】独立集(bubble)