【专题】最长不下降子序列

简介

这是一个很初级的dp模型，最简单的是$O(n^2)$的，但是为了时间快，我们有出现了O(n log n)的算法。在这里予以讲解。

讲解

一、$O(n^2)$

这个想必大家一定闭着眼睛都能打出来吧。
我们设f[i]表示取到第i个的最长子序列长度。
然后就可以$N^2$枚举，暴力转移：f[i]=max(f[i],f[j]+1);

二、O(n log n)

其实n log n只是换了一种方式去计算，而且比上面的更好理解，我们就可以形象的看到这个最长的长度是怎么被堆积出来的。（但是实际上，这种算法我们是无法看到最终序列的，只能知道答案，然而我们可以知道只有前i个数时，必选i的最长长度）。
这个算法就是：
①每次加入一个数，显然，如果这个序列顶的数比它要小，那么就可以直接放进队尾，并且长度加一。
②但是问题来了，如果比它要大，那么就只能在中间找一个它能够存放的地方。而这个地方刚好满足左边的小于等于它，右边的大于等于它。于是我们就得到了必选这个时的最长长度为找到的这个地方x。
那么怎么找呢？二分！因为这是一个完全单调的队列。
最终答案就是每次累加出来的长度。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int f[100005]；
int n,a[100005];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int i,j,l,r,mid;
    for (i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    f[0]=0;
    for (i=1;i<=n;++i)
    {
        if(a[i]>f[f[0]])
            f[++f[0]]=a[i];
        else
        {
            l=1;r=f[0];
            while(l<r)
            {
                mid=(l+r)/2;
                if(f[mid]>a[i])r=mid;
                else l=mid+1;   
            }   
            f[l]=a[i];
        }
    }
    printf("%d\n",f[0]);
}