最长不下降子序列——动态规划

最长不下降子序列——动态规划

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解法一

1. 时间复杂度 O(n²)；
2. 创建数组f[]，用f[i]表示包含第i个数据的最长不下降子序列的长度
3. 对每一个输入的数a[i]进行如下操作：
   
   1. 通过遍历找出k，使得f[k]为所有满足 a[k] > a[i] 的值中最大的一个数
   2. 如果存在这样的k，那么将a[i]接在a[k]后面可以构成长度为f[k]+1的不下降子序列，因此将f[i]的值更新为f[k]+1
   3. 如果不存在这样的k，就说明a[i]之前不存在任何比他小的数，那么就将f[i]的值更新为1

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#include<iostream> 
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,f[100005],a[100005];
int getbig(int id){
    int big = 0;
    for(int i = 0;i < id;i++){
        if(a[i] < a[id])
            if(big < f[i])
                big = f[i];
    }
    return big;
}
int main(){
    int big = 0;
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        cin >> a[i];
    for(int i = 0;i < n;i++){
        f[i] = getbig(i) + 1;
        big = max(big,f[i]);
    }
    cout << big;
}

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解法二

1. 时间复杂度 O(nlogn)；
2. 创建数组f[]，用f[i]表示长度为i的最长不下降子序列的尾值,那么f[]数组一定是一个有序序列。用变量t表示数组f[]的长度，那么t的值就是最长不下降子序列的长度
3. 对每一个输入的数a[i]进行如下操作：
   
   1. 判断a[i]是否大于f[t]，如果大于f[t]，那么就说明现在存在一个长度为t的不下降子序列，且这个子序列的尾值比a[i]小，那么如果将a[i]接在这个子序列后面，就可以得到一个长度为t+1的最长不下降子序列,那么就可以通过a[i]更新f[]数组
   2. 如果a[i]不大于f[t]，那么在f[]数组中一定存在大于等于a[i]的数，找到一个k，使得f[k]为f[]数组中大于等于a[i]的数中最小的。那么f[k-1]定小于a[i]，这说明已经存在了一个长度为k-1的序列，而且这个序列的尾值小于a[i]。如果将a[i]接在这个序列后面就可以构成一个新的长度为k的最长不下降子序列，而且这个子序列的尾值小于f[k],那么就可以用a[i]来更新f[k]

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[100005],a,t,n;
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin >> a;
        if(a > f[t])
            f[++t] = a;
        else
            *lower_bound(f + 1,f + t + 1,a) = a;
    }
    cout << t;
}

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lower_bound(first,last,value)返回一个 迭代器 它指向在[first,last)标记的有序序列中可以插入value，而不会破坏容器顺序的第一个位置，而这个位置标记了一个不小于value 的值 。该函数为C++ STL内的函数。 ——引自百度百科