相似矩阵、过渡矩阵

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申明： 仅个人小记

一、相似矩阵

$${P}^{-1}AP=B$$

$${P}^{-1}AP\vec{x}=B\vec{x}$$

$\vec{x}$是新空间的一个向量，$P\vec{x}$表示将新空间向量$\vec{x}$变换为原空间向量，$AP\vec{x}$是在原空间下做A变换,${P}^{-1}AP\vec{x}$是将变换结果反变回新空间，$B\vec{x}$是在新空间下对向量$\vec{x}$做B变换

对上式进行变形，得

$$A=PB{P}^{-1}$$

$$A\vec{y}=PB{P}^{-1}\vec{y}$$
此时， $\vec{y}$是原空间的一个向量， ${P}^{-1}\vec{y}$是将原空间向量 $\vec{y}$变换到新空间， $B{P}^{-1}\vec{y}$则是在新空间中对向量 ${P}^{-1}\vec{y}$做B变换， $PB{P}^{-1}\vec{y}$便是将变换结果 ${P}^{-1}\vec{y}$变换到原空间。

二、过渡矩阵

${R}^{3}$空间的一个基$A=(\vec \alpha _1,\vec \alpha_2,\vec \alpha _3)$，在取一个新基$B=(\vec \beta_1,\vec \beta_2,\vec\beta_3)$，把矩阵

$$P={A}^{-1}B$$ 称为旧基A到新基B的过渡矩阵。
为什么这样称呼，看下式： $$B=AP$$
即对基A做变换P就可以得到基B。(为什么这样，我暂时不清楚，只当是选出一种作为规定吧)。

具体用处，

$$\vec{x}={A}^{-1}B\vec{y}, 其中\vec{x}是基A下的坐标，\vec{y} 是基B下的坐标$$

$B\vec{y}$是将B基下的向量$\vec y$变换到原空间，${A}^{-1}B\vec{y}$表示将原空间的向量$B\vec{y}$变换到A基下的向量。