HDU4602 Partition （神奇的计算方式）

题目描述：

$4=1+1+1+1\\~~~=1+1+2\\~~~=1+2+1\\~~~=2+1+1\\~~~=1+3\\~~~=3+1\\~~~=4$
上述对正整数4的拆分中1出现了12次，现给出 $n,k\le10^9$ ，求对n的拆分中数字k出现的次数
多组数据，T<=10000

题目分析：

首先，对一个数n的所有拆分方案总共有 $2^{n-1}$ 种，相当于在n相同的小球中插入p块隔板(p=0,1,2…n-1)，那么总方案数为 $C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+\cdots +C_{n-1}^{n-1}=(1+1)^{n-1}=2^{n-1}$
由于k在同一个拆分中可能出现多次，不好处理，我们先考虑只计算一次的情况

n<k 输出0
n=k 输出1
n=k+1 输出2
n>k+1
这时k倘若在靠左边的位置，则右边的数随意拆分，数量为 $2^{n-k-1}$ ，k靠右同理
倘若k在中间，则有n-k-1个位置可选，设两边的数为t1,t2，则拆分方案数为 $2^{t1-1}*2^{t2-1}=2^{n-k-2}$
总的加起来就是 $2^{n-k}+(n-k-1)*2^{n-k-2}=(n-k+3)*2^{n-k-2}$ 种

但是，此时我们只求出了一个k的情况，同一种拆分中k出现多次怎么办？
其实思考一下，问题已经无意中解决了，若同一种拆分中有p个k，那么这种拆分就会被统计到p次，因为我们并没有管除了当前的k之外其他地方还会不会出现k，举个例子：
$8=1+$ $\color{red}2$ $+$ $\color{green}2$ $+$ $\color{blue}2$ $+1$ 这种拆分中，在 $\color{red}2$ ， $\color{green}2$ ， $\color{blue}2$ 时各统计了一次，系数问题已经解决了

总结一下，有些时候统计问题的去重操作其实很简单，对称的感觉很重要
比如这道题，看似会算重的统计方式实际上把次数也求出来了。

PS：要是在考场上，直接列表格：
$\begin{array}{c|ccccc} n,k&1&2&3&4&5\\\hline 1&1\\ 2&2&1\\ 3&5&2&1\\ 4&12&5&2&1\\ 5&28&12&5&2&1 \end{array}$
很容易发现只跟n-k的大小有关

#include<cstdio>
const int mod = 1e9+7;
int ksm(int a,int b)
{
	int s=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) s=1ll*s*a%mod;
	return s;
}
int main()
{
	int T,n,k;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		if(n<k) puts("0");
		else if(n<=k+1) printf("%d\n",n-k+1);
			else printf("%d\n",1ll*(n-k+3)*ksm(2,n-k-2)%mod);
	}
}