矩阵运算快速幂来快速计算线性递推式

斐波那契数列
f(0)=0; f(1)=1; f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>1

从上面这个方程中我们可以看到很明显的递推关系，当n>1的时候很明显发现会有一个关系式，但是实际上我们在做运算的时候，如果一步一步的按照递推式计算，将会消耗大量的时间（最短也是O(n)的时间复杂度），于是我们这个时候就需要引入矩阵乘法和快速幂来减少时间复杂度

矩阵乘法：
设A为mp的矩阵，B为pn的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为A的第i行与B的第j列对应元素乘积和

矩阵相乘：矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。
设A为mp的矩阵，B为pn的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB：

首先：快速幂取模模板
例如：求x的n次幂并取模

	int quickmod(long long n,long long x,long long r) //整型的
	{
		int ans=1;
		while(n)
		{
			if(n&1)
				ans=ans*x%r;
			n>>=1;
			x*=x%r;
		}
		return ans;
	} 

矩阵 (struct)来定义

struct   Matrix{
	int m[2][2];
} 

矩阵的乘法运算

    Matrix mul(Matrix k,Matrix n)
    {
        matrix ans;
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                ans.m[i][j]=0;
                for(int k=0;k<2;k++)
                    ans.m[i][j]+=k.m[i][k]*n.m[k][j]%mod;
            }
        return ans;
    }

两者结合一下即可
最终代码

#include <iostream>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
struct  Matrix{
	int m[2][2];
};
Matrix mul(Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
        {
            ans.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<2;k++)
                ans.m[i][j]+=A.m[i][k]*B.m[k][j]%mod;
        }
    return ans;
}
Matrix quickmod(long long n,Matrix x)
{
	Matrix ans;
	ans.m[0][0]=1;
	ans.m[0][1]=0;
	ans.m[1][0]=0;
	ans.m[1][1]=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)
			ans=mul(ans,x);
		n>>=1;
		x=mul(x,x);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	 Matrix A,ans;
	 int n;
	 cin>>n;
	 ans.m[0][0]=1;
	 ans.m[0][1]=0;
  	 A.m[0][0]=1;
 	 A.m[0][1]=1;
	 A.m[1][0]=1;
	 A.m[1][1]=0;
	 ans=mul(ans,quickmod(n-1,A));
	 cout<<ans.m[0][0]<<endl;
	 return 0;
}