矩阵快速幂和斐波那契递推式的快速计算

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矩阵快速幂

$\quad$首先定义两个矩阵想成的运算函数mul

typedef vector<vector<int> > Mat;
const int M = 1e4+10;  // 容易溢出，给一个小于int开根号的数来模
Mat mul(Mat &A, Mat &B)
{
	int m = A.size(), n = B[0].size(), l = B.size();
	Mat C(m, vector<int>(n));
	for(int i = 0; i < m; i++)
		for(int k = 0; k < l; k++)
			for(int j = 0; j < n; j++)
				C[i][j] = (C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%M;
	return C;
}

$\quad$接下来用快速幂就可以啦

Mat pow(Mat A, int n)
{
	int m = A.size();
	Mat B(m, vector<int>(m));
	for(int i = 0; i < m; i++) B[i][i] = 1;
	while(n>0)
	{
		if(n%2==1) B = mul(B, A);
		A = mul(A, A);
		n /= 2;
	}
	return B;
}

二、斐波那契数列快速计算

$\quad$因此，计算出来 $A^n$，那么 $A[0][0]$就是斐波那契数列第n项的值。求解程序如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

typedef vector<vector<int> > Mat;
const int M = 1e4+10;  // 容易溢出，给一个小于int开根号的数来模
Mat mul(Mat &A, Mat &B)
{
	int m = A.size(), n = B[0].size(), l = B.size();
	Mat C(m, vector<int>(n));
	for(int i = 0; i < m; i++)
		for(int k = 0; k < l; k++)
			for(int j = 0; j < n; j++)
				C[i][j] = (C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%M;
	return C;
}
Mat pow(Mat A, int n)
{
	int m = A.size();
	Mat B(m, vector<int>(m));
	for(int i = 0; i < m; i++) B[i][i] = 1;
	while(n>0)
	{
		if(n%2==1) B = mul(B, A);
		A = mul(A, A);
		n /= 2;
	}
	return B;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
	Mat F = Mat({{1, 1}, {1, 0}});
	int n; cin >> n;
	Mat res = pow(F, n);
	cout << res[0][0] << endl;
	return 0;
}