矩阵快速幂 && 求解常系数齐次线性递推式

先说矩阵A的n次幂（Aⁿ）的快速幂的求法
因为矩阵乘满足结合律，所以矩阵的快速幂和前面普通快速幂原理都一样，主要在于矩阵乘法的运算

1、矩阵乘法

1.1 直接模拟矩阵乘（m行）

用结构体存矩阵（一个结构体可以直接赋值另一个结构体）

struct mat
{
    LL a[m][m];
};
mat init=mat{0,0,0,0};

mat mul(mat a,mat b)
{
     mat ans=init;
    for(int i=0; i<m; i++)
        for(int j=0; j<m; j++)
            for(int k=0; k<m; k++)
                ans.a[i][j]=(x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod+ans.a[i][j])%mod;
     return ans;
}

所以A,B两个矩阵相乘就可以调用函数mul===>mul(A,B)

1.2 重载*号，

C++的运算符重载

mat operator *(const mat &x,const mat &y)//重载运算符
{
    mat ans=init;
    for(int i=0; i<m; i++)
        for(int j=0; j<m; j++)
            for(int k=0; k<m; k++)
                ans.a[i][j]=(x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod+ans.a[i][j])%mod;
    return ans;
}

现在A,B两个矩阵就可以直接相乘了===>A*B

2、求解常系数齐次线性递推式

以 Fibonacci 数列为例：
数列中 F₀ = 0,F₁ = 1, F_n = F_n−1 + F_n−2 ，它有两个单项式，我们就可以构造一个2行2列的矩阵，利用矩阵的乘法求F_n，我们先写出它的下一项
F_n = F_n−1 + F_n−2
F_n+1 = F_n + F_n−1

然后现在来填构造矩阵，因为F_n = 1* F_n−1 +1* F_n−2 ，所以第一列都是1

因为F_n-1 = 1* F_n−1 +0* F_n−2 ，所以第二列分别是1,0

然后我们用矩阵算F₃
F₃ = F₂ + F₁
F₄ = F₃ + F₂

$\begin{vmatrix} F~2~ & F~1~ \\ 0&0 \\ \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 1&0 \\ \end{vmatrix}$= $\begin{vmatrix} F~3~ & F~2~ \\ 0&0 \\ \end{vmatrix}$
即：
$\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 0&0 \\ \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 1&0 \\ \end{vmatrix}$= $\begin{vmatrix} F~3~ & F~2~ \\ 0&0 \\ \end{vmatrix}$

所以F_n就等于矩阵 $\begin{vmatrix} F~2~ & F~1~ \\ 0&0 \\ \end{vmatrix}$乘以矩阵 $\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 1&0 \\ \end{vmatrix}$的n-2次幂

代码：poj 3070

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e4;
struct mat
{
    LL a[2][2];
};
mat init=mat{0,0,0,0};
mat init1=mat{1,0,0,1};//单位矩阵
mat operator *(const mat &x,const mat &y)//重载运算符
{
    mat ans=init;
    for(int i=0; i<2; i++)
        for(int j=0; j<2; j++)
            for(int k=0; k<2; k++)
                ans.a[i][j]=(x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod+ans.a[i][j])%mod;
    return ans;
}
mat quick_pow(mat a,LL b)
{
    mat ans=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    mat a,b;
    a=mat{1,1,0,0};
    b=mat{1,1,1,0};
    while(scanf("%d",&n),n!=-1)
    {
        if(n==0)
        {
          printf("0\n");
          continue;
        }
        if(n==1||n==2)
        {
             printf("1\n");
             continue;
        }
        mat ans=a*quick_pow(b,n-3);
        printf("%lld\n",ans.a[0][0]);
    }
}