题目描述:
令f(n)=2*f(n-1)+3*f(n-2)+n,f(1)=1,f(2)=2
令g(n)=g(n-1)+f(n)+n*n,g(1)=2
告诉你n,输出g(n)的结果,结果对1e9+7取模
令g(n)=g(n-1)+f(n)+n*n,g(1)=2
告诉你n,输出g(n)的结果,结果对1e9+7取模
输入描述:
多组输入,每行一个整数n(1<=n<=1e9),如果输入为0,停止程序。
输出描述:
在一行中输出对应g(n)的值,结果对1e9+7取模。
示例1
输入
1 5 9 456 0
输出
2 193 11956 634021561
说明
多组输入,输入为0时,终止程序
备注:
项数极大,朴素算法无法在规定时间内得出结果
解题思路:
根据公式得出递推公式(含有6项),通过前一项和后一项的关系得出关系矩阵。然后求解。
1 //嵌套公式 2 #include<bits/stdc++.h> 3 const int MOD = 1e9+7; 4 #define mod(x) ((x)%MOD) 5 const int maxn = 20; 6 typedef long long ll; 7 using namespace std; 8 struct martix 9 { 10 ll a[maxn][maxn]; 11 friend martix operator * (martix a, martix b) 12 { 13 martix res; 14 for(int i = 1; i <= 6;i++) 15 { 16 for(int j = 1;j <= 6;j++) 17 { 18 ll ans = 0; 19 for(int k = 1;k <= 6;k++) 20 ans += mod((ll)a.a[i][k] * b.a[k][j]); 21 res.a[i][j] = mod(ans); 22 } 23 } 24 return res; 25 } 26 friend martix operator ^ (martix a ,ll n) 27 { 28 martix unit; 29 memset(unit.a,0,sizeof(unit.a)); 30 for(int i = 1;i <= 6;i++) unit.a[i][i] = 1; 31 while(n) 32 { 33 if(n&1) unit = unit * a; 34 a = a * a; 35 n >>= 1; 36 } 37 return unit; 38 } 39 }; 40 int main() 41 { 42 martix res,ans; 43 44 ll n,m; 45 while(cin>>n) 46 { 47 if(n == 0) return 0; 48 else if(n == 1) cout<<2<<endl; 49 else if(n == 2) cout<<8<<endl; 50 else 51 { 52 memset(res.a,0,sizeof(res.a)); 53 memset(ans.a,0,sizeof(ans.a)); 54 55 res.a[1][1] = 8;res.a[1][2] = 2;res.a[1][3] = 1;res.a[1][4] = 4;res.a[1][5] = 2;res.a[1][6] = 1; 56 57 ans.a[1][1] = 1;ans.a[1][2] = 0;ans.a[1][3] = 0;ans.a[1][4] = 0;ans.a[1][5] = 0;ans.a[1][6] = 0; 58 ans.a[2][1] = 2;ans.a[2][2] = 2;ans.a[2][3] = 1;ans.a[2][4] = 0;ans.a[2][5] = 0;ans.a[2][6] = 0; 59 ans.a[3][1] = 3;ans.a[3][2] = 3;ans.a[3][3] = 0;ans.a[3][4] = 0;ans.a[3][5] = 0;ans.a[3][6] = 0; 60 ans.a[4][1] = 1;ans.a[4][2] = 0;ans.a[4][3] = 0;ans.a[4][4] = 1;ans.a[4][5] = 0;ans.a[4][6] = 0; 61 ans.a[5][1] = 3;ans.a[5][2] = 1;ans.a[5][3] = 0;ans.a[5][4] = 2;ans.a[5][5] = 1;ans.a[5][6] = 0; 62 ans.a[6][1] = 2;ans.a[6][2] = 1;ans.a[6][3] = 0;ans.a[6][4] = 1;ans.a[6][5] = 1;ans.a[6][6] = 1; 63 ans = ans ^ (n-2); 64 ans = res * ans; 65 cout<<mod(ans.a[1][1])<<endl; 66 } 67 } 68 return 0; 69 }