矩阵快速幂加速递推

求斐波那契数列第n项大家肯定都会。但是如果让我们求斐波那契的第1e9项,我们还能一项一项递推吗？这显然会T到起飞。所以我们要想点办法来加速递推。那么办法就是用矩阵+快速幂。

$F_n_+_1=1*F_n+1*F_n_-_1$

$F_n=1*F_n+0*F_n_-_1$

这样一列,我们就得到了 $F_n_+_1,F_n$ ,和 $F_n,F_n_-_1$ 三者的关系。用矩阵表示一下就是

$\large \begin{pmatrix} &F_n_+_1 \\ &F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} F_n\\F_n_-_1\end{pmatrix}$

那么就有了,我们如果多左乘一个系数矩阵,那么 $A_{_{11}}$ 就会从 $F_n$ 变成 $F_n_+_1$ 。

$\large \begin{pmatrix} &F_n_+_2 \\ &F_n_+_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} F_n_+_1\\F_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 &1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} F_n_+_1\\F_n\end{pmatrix}$

那么也就是,如果刚开始的一个矩阵 $\large \binom{F_1}{F_1}$ ,我们通过左乘n次 $\large \begin{pmatrix} &1 &1 \\ &1 &0 \end{pmatrix}$ ,就能得到矩阵 $\large \binom{F_n_+_2}{F_n_+_1}$ 。那么只要求一下 $\large \begin{pmatrix} &1&1 \\ & 1&0 \end{pmatrix}^{n-2}\times\begin{pmatrix} &1\\ &1 \end{pmatrix}$ 就得到了 $\large \binom{F_n}{F_n_-_1}$ ,其中n>=2。当n<2的时候就直接输出1。

求幂我们有快速幂,这样就能降到 $\large \lg$ 级别了。其中,我们只要把快速幂里的乘,改成我们手写的矩阵乘法就行了。

下面给出一个例题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1962

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
ll read(){
    ll ans=0,flag=1;char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') flag=-1;
    ans=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48);
    return flag*ans;
}
void write(ll x){
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int mod=1000000007;
struct matrix{
    ll val[2][2];
}shit={{1,1,1,0}};
matrix mul(matrix a,matrix b){
    matrix ans;
    for(rg int i=0;i<2;i++){
        for(rg int j=0;j<2;j++){
            ans.val[i][j]=0;
            for(rg int k=0;k<2;k++)
                ans.val[i][j]=(ans.val[i][j]+a.val[i][k]*b.val[k][j])%mod;
        }
    }
    return ans;
}
matrix faspow(matrix a,ll b){
    matrix ans;
    for(rg int i=0;i<2;i++) for(rg int j=0;j<2;j++) if(i==j) ans.val[i][j]=1; else ans.val[i][j]=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        b>>=1;
        a=mul(a,a);
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll t=read();
    matrix ans;
        if(t<=2) cout<<"1\n";
        else{
            ans=faspow(shit,t-2);
            cout<<(ans.val[0][0]+ans.val[0][1])%mod<<endl;
        }
    return 0;
}

那么把这题做了,你大概就知道什么是矩阵快速幂了。那么再来一个题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1939

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题目描述

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对 $\large 1000000007$ （ $\large 10^9+7$ ）取余的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T，表示询问个数。

以下T行，每行一个正整数n。

输出格式：

每行输出一个非负整数表示答案。

是个递推式,那么你很轻松就写出了递推方程:

$\large a[n]=1*a[n-1]+0*a[n-2]+1*a[n-3]$

$\large a[n-1]=1*a[n-1]+0*a[n-2]+0*a[n-3]$

$\large a[n-2]=0*a[n-1]+1*a[n-2]+0*a[n-3]$

我们又轻松找到了 $\large a_n,a_n_-_1,a_n_-_2$ 和 $\large a_n_-_1, a_n_-_2, a_n_-_3$ 的关系。

$\large \begin{pmatrix} &a_n\\ & a_n_-_1\\ & a_n_-_2& \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} &1 &0 &1 \\ &1 &0 &0 \\ &0 &1 &0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} &a_n_-_1\\ &a_n_-_2\\ &a_n_-_3\\ \end{pmatrix}$

又是一波快速幂!~~我们甚至只要在上一题的模板改一下就得到双倍经验了！~~

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
ll read(){
    ll ans=0,flag=1;char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') flag=-1;
    ans=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48);
    return flag*ans;
}
void write(ll x){
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int mod=1000000007;
struct matrix{
    ll val[3][3];
}shit={{1,0,1,1,0,0,0,1,0}};
matrix mul(matrix a,matrix b){
    matrix ans;
    for(rg int i=0;i<3;i++){
        for(rg int j=0;j<3;j++){
            ans.val[i][j]=0;
            for(rg int k=0;k<3;k++)
                ans.val[i][j]=(ans.val[i][j]+a.val[i][k]*b.val[k][j])%mod;
        }
    }
    return ans;
}
matrix faspow(matrix a,int b){
    matrix ans;
    for(rg int i=0;i<3;i++) for(rg int j=0;j<3;j++) if(i==j) ans.val[i][j]=1; else ans.val[i][j]=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        b>>=1;
        a=mul(a,a);
    }
    return ans;
}
int main(){
    matrix ans;
    int t,n=read();
    while(n--){
        t=read();
        if(t<=3) cout<<"1\n";
        else{
            ans=faspow(shit,t-3);
            cout<<(ans.val[0][0]+ans.val[0][1]+ans.val[0][2])%mod<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

做完这两个题你肯定对矩阵快速幂有一点点了解了,那就再来一个题:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3216

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 N和M ，要求计算Concatenate(1..N) ModM 的值，其中 Concatenate (1 .. N)是将所有正整数 1, 2, …, N顺序连接起来得到的数。例如，N=13, Concatenate (1 .. N)=12345678910111213,小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足1≤N≤1000000;100%的数据满足 $1\leq N\leq10^{18}$ 且 $1\leq M \leq 10^9$ .

你又是很轻松地写出来了递推公式, $\large C[n]=C[n-1]*10^{\lceil \lo\log_{10}n \rceil+1}+n$ 。

$\large \begin{pmatrix}f_n \\n \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10^k & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f_{n-1} \\n-1 \\1\end{pmatrix}⎣$ ,其中k= $\large {\lceil \lo\log_{10}n \rceil+1$ ,也就是说,我们的快速幂要分阶段来。~~这太烦了我就没写,留给你写叭！~~