动态规划算法的核心
A * "1+1+1+1+1+1+1+1 =?" *
A : "上面等式的值是多少"
B : *计算* "8!"
A *在上面等式的左边写上 "1+" *
A : "此时等式的值为多少"
B : *quickly* "9!"
A : "你怎么这么快就知道答案了"
A : "只要在8的基础上加1就行了"
A : "所以你不用重新计算因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"
动态规划算法的两种形式
上面已经知道动态规划算法的核心是记住已经求过的解,记住求解的方式有两种:①自顶向下的备忘录法 ②自底向上。
为了说明动态规划的这两种方法,举一个最简单的例子:求斐波拉契数列Fibonacci 。
①自顶向下的备忘录法
public static int Fibonacci(int n)
{
if(n<=0)
return n;
int []Memo=new int[n+1];
for(int i=0;i<=n;i++)
Memo[i]=-1;
return fib(n, Memo);
}
public static int fib(int n,int []Memo)
{
if(Memo[n]!=-1)
return Memo[n];
//如果已经求出了fib(n)的值直接返回,否则将求出的值保存在Memo备忘录中。
if(n<=2)
Memo[n]=1;
else Memo[n]=fib( n-1,Memo)+fib(n-2,Memo);
return Memo[n];
}
备忘录法也是比较好理解的,创建了一个n+1大小的数组来保存求出的斐波拉契数列中的每一个值,在递归的时候如果发现前面fib(n)的值计算出来了就不再计算,如果未计算出来,则计算出来后保存在Memo数组中,下次在调用fib(n)的时候就不会重新递归了。比如上面的递归树中在计算fib(6)的时候先计算fib(5),调用fib(5)算出了fib(4)后,fib(6)再调用fib(4)就不会在递归fib(4)的子树了,因为fib(4)的值已经保存在Memo[4]中。
②自底向上的动态规划
备忘录法还是利用了递归,上面算法不管怎样,计算fib(6)的时候最后还是要计算出fib(1),fib(2),fib(3)……,那么何不先计算出fib(1),fib(2),fib(3)……,呢?这也就是动态规划的核心,先计算子问题,再由子问题计算父问题。
public static int fib(int n)
{
if(n<=0)
return n;
int []Memo=new int[n+1];
Memo[0]=0;
Memo[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
Memo[i]=Memo[i-1]+Memo[i-2];
}
return Memo[n];
}