方法概述: 发展及研究内容
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
动态规划问世以来,在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、资源分配、设备更新等问题,用动态规划比用其它方法求解更为方便。
方法概述: 基本思想
A.动态规划的思想实质是分治思想和解决冗余。
B.与分治法类似的是,将原问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
C.与分治法不同的是,经分解的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解,有些共同部分(子问题或子子问题)被重复计算了很多次。
D.如果能够保存已解决的子问题的答案,在需要时再查找,这样就可以避免重复计算、节省时间。动态规划法用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
E.这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表方式。
方法概述: 求解步骤
1、找出最优解的性质,并刻画其结构特征;
2、递归地定义最优值(写出动态规划方程);
3、以自底向上的方式计算出最优值;
4、根据计算最优值时记录的信息,构造最优解。
注:
-步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形,步骤4可以省略;
-若需要求出问题的一个最优解,则必须执行步骤4,步骤3中记录的信息是构造最优解的基础
方法概述: 适用条件
动态规划法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质
最优子结构:当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。
重叠子问题:在用递归算法自顶向下解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,在以后尽可能多地利用这些子问题的解。
例1:多段图的最短路问题
多段图:设G=<V,E>是一个有向连通图,其中|V|=n, |E|=m, V有划分{V1,V2,···,Vk},这里V1 ={s},s称为源点, Vk ={t},t称为终点,其中k ≥ 2 。对于每条有向边<u,v> ∈ E都存在Vi ∈ V,使得u ∈ Vi和v ∈ Vi+1, 其中1≤i<k且每条边<u,v>均附有代价C(u,v),则称G是一个k段图。
最短路:从源点s到终点t的整条路上的代价之和为最小。
每个子集Vi构成图中的一段。由于E的约束,每条从s到t的路径都是从第一段开始,然后顺次经过第2段,第3段,···,最后在第k段终止。对于每条从s到t的路径,可以把它看成在k-2个阶段中做出的某个决策序列的相应结果。
假设s,v2,v3,···,vk-1,t是一条从s到t的最短路径,还假定从源点s(初始状态)开始,已做出了到结点v2的决策(初始决策),因此v2就是初始决策所产生的状态。如果把v2看成是原问题的一个子问题的初始状态,解这个子问题就是找出一条由v2到t的最短路径。这条路径显然是 v2,v3,···,vk-1,t,否则设v2,q3,···,qk-1,t是一条由v2到t的更短路径,则s,v2,q3,···,qk-1,t是一条比路径s,v2,v3,···,vk-1,t 更短的由s到t的路径,与假设矛盾,故最优化原理成立。
向前处理法:设P(i,j)是从Vi中的点j到t的一条最短路,cost(i,j)是这条路线的耗费。由后向前推算,得到
cost(i,j)=min{C(j,r)+cost(i+1,r)}
cost(4,9)=4 cost(4,10) =2 cost(4,11)=5
cost(3,6)=min{6+cost(4,9),5+cost(4,10)}
=min{6+4,5+2}=7
从第3段的顶点6到t的最短路径是6-10-t
cost(3,7)=min{4+cost(4,9),3+cost(4,10)} =min{4+4,3+2}=5
从第3段的顶点7到t的最短路径是7-10-t
cost(3,8)=7
从第3段的顶点8到t的最短路径是8-10-t
cost(2,2)=7 从第2段顶点2到t的最短路是2-7-10-t
cost(2,3)=9从第2段顶点3到t的最短路是3-6-10-t
cost(2,4)=18从第2段顶点4到t的最短路是4-8-10-t
cost(2,5)=15从第2段顶点5到t的最短路是5-8-10-t
cost(1,1)=16 从第1段顶点1到t的最短路径由两条:
1-2-7-10-t和1-3-6-10-t
用D(i,j)表示使C(j,r)+cost(i+1,r)取得最小值
的r,则在上述求解过程中同时得到:
D(3,6)=10, D(3,7)=10, D(3,8)=10
D(2,2)=7, D(2,3)=6, D(2,4)=8
D(2,5)=8, D(1,1)=2
设从s到t的最短路径为s,w2,w3,···,wk-1,t
则有w2=D(1,1)=2
w3= D(2,D(1,1))=D(2,2)=7
w4=D(3,D(2,D(1,1)))=D(3,D(2,2))=D(3,7)=10
所以这条路径是1-2-7-10-t
为了便于描述算法,对一个k段图的顶点,按段的顺序给它的每个顶点编号。设图中有n个顶点,则编号为1,2,···,n。首先,给s编为1号;然后给V2中的各个顶点分别编为2,3, ··· ,| V2 |+1号;以此类推,最后t编号为n。
这样编号使Vi+1中的任何顶点的编号大于Vi中所有顶点的编号。
于是,可以按n-1,n-2,···,1的顺序计算出cost(i,j)和D(i,j)。算法中可以利用顺序编号的特点,而不再考虑顶点所在的段。
设顶点的编号已知,边已知及边的代价函
数C(i,j)已知。用cost[i]表示顶点i到t的最小
代价, 1≤i ≤n。用D[i]表示从顶点i到t的最短路径上顶点i的后继顶点号,用P[i]表示最短路径经过第i级的顶点号, 1≤i ≤k
例2
对于由从1到N (1 <= N <= 39)这N个连续的整数组成的集合来说,我们有时可以将集合分成两个部分和相同的子集合。
例如,N=3时,可以将集合{1, 2, 3} 分为{1,2}和{3}。此时称有一种方式(即与顺序无关)。
N=7时,共有四种方式可以将集合{1, 2, 3, ..., 7} 分为两个部分和相同的子集合:
{1,6,7} 和 {2,3,4,5}
{2,5,7} 和 {1,3,4,6}
{3,4,7} 和 {1,2,5,6}
{1,2,4,7} 和 {3,5,6}
输入:程序从标准输入读入数据,只有一组测试用例。如上所述的N。
输出:方式数。若不存在这样的拆分,则输出0。
代码实现:
#include<stdio.h> void main(){ int i,j,x,y,flag,sum; int input,outresult; int num[40][410] = {0}; num[0][0] = 1; scanf("%d",&input); x = input, y = (1 + input)*input/2; sum = y/2; flag = y%2; if(flag == 1) printf("0\n"); else{ for(i=1;i<=x;i++){ for(j=1;j<=y/2;j++) if(i<=j) num[i][j] = num[i-1][j] + num[i-1][j-i]; else num[i][j] = num[i-1][j]; } outresult = num[x][sum]; printf("%d\n",outresult); } }