03 Monte Carlo方法求解非线性规划(01)

---

0.说明

• 本文是鸡年新年计划的内容之一：每周学习一个数学模型，写一篇总结，记录自己学到的东西和遇到的问题。
• 这些文章并不是相关模型的全面介绍，也不是从最基础的开始，所以不一定适合数学模型的beginner，但都是些很实际的技术，希望能帮到你。
• 本文的重点是使用Monte Carlo方法求解非线性规划。

1.向大家求助的问题

关于下面的这些问题，我迫切的需要你的帮助，哪怕是一些网址和信息，所以，感谢你给我发邮件[email protected]或直接加我QQ好友：117829132（请一定注明“帮助你”）或直接在评论中留言。

1.Monte Carlo方法求解非线性规划，取多少个点是至关重要的，欢迎你告诉我更多实用的、确定点数的方法。

2.一个线性规划模型记为M，限制其中某些（或全部）决策变量只能取整数后得到一个整数线性规划，记为M’。即使M有最优解，M’也有可能甚至没有可行解，为什么？

2. 用Monte Carlo 方法求解如下非线性整数规划

minz=x21+x22+3x23+4x24+2x25−8x1−2x2−3x3−x4−2x5

$$min \quad z = x_1^2+x_2^2+3x_3^2+4x_4^2+2x_5^2-8x_1-2x_2-3x_3-x_4-2x_5$$
$$s.t.\begin{cases} \sum_{i=1}^5x_i \le 400 \\ x_1+2x_2+2x_3+x_4+6x_5 \le 800 \\ 2x_1+x_2+6x_3 \le 200 \\ x_3+x_4+5x_5 \le 200\\ 0 \le x_i \le 99, \; i = 1, \cdots , 5 \end{cases}$$

使用MATLAB编写程序求解，需要编写两个程序：

计算给定点的目标函数值和约束条件值的程序如下：

function [ f, g ] = ex2_6( x )
f = [1 1 3 4 2] * (x.^2)' - [8 2 3 1 2] * x';
g = [ sum(x) - 400
    [1 2 2 1 6] * x' - 800
    [2 1 6 0 0] * x' - 200
    [0 0 1 1 5] * x' - 200];

随机选取点进行验证和统计的程序如下：

fix(clock)  %显示当前时刻，也就是程序开始运行的时刻
x00=[];p00=[];t=[];%初始化三个变量，用于存放最优解（x00）、最优值（p00）和每个单次（取10^6个点）进行计算的时间，用于后续的分析
for k=1:3000    %为了测试性能和保证准确性，进行3000个单次的循环
rand( 'state', sum(clock)); %初始化随机数的种子
tic;        %开始计时
p0 = 0; x0 = 0; %初始化这个单次的最优值和最优解
for i = 1:10^6  %共选取10^6个点
    x = randi(99, 1, 5);    %随时生成一个1行5列的x，每个元素是1至99之间的整数
    [f, g] = ex2_6(x);      %计算目标函数和约束条件的值
    if all(g <= 0)          %如果约束条件全部满足
        if f>p0
            p0 = f; x0 = x; %如果该值处的目标函数值比当前的最优值还大，那么更新最优值和最优解
        end
    end
end
%x0, p0
x00(k, :) = x0;     %记录每个单次的最优解
p00(k, :) = p0;     %记录每个单次的最优值
t(k)=toc;           %记录每个单次的运行时间
end
x00
p00
fix(clock)          %显示全部程序结束的时刻
t

上述程序共运行3000个单次，每个单次选择10^6个点进行验证。3000个单次共耗时36815秒、合计613.5793分钟、10.2263小时，比事前预估的时间少30几分钟。

用Monte Carlo方法找到的最优解是[41 99 3 99 17]，最优值是，50623

该问题也可以用Lingo精确求解，准确的最优解是：[50 99 0 99 20]，最优值是51568。
二者之间的差约为1.83%，对于很多问题而言，精度已经足够了。

2.关于randi函数和randint函数的异同

第一版的程序中，我使用的是randint函数来生成随机数，每个单次运行时间大约1400多秒，合计24分钟左右。每个单次选取10^6个点进行验证。

随后，按照MATLAB的提示，我换成randi函数，则每个单次的运行时间剧减为13至14秒之间。

开始我以为是对于程序的其他修改导致的，于是，我做了两个版本的程序，这两个版本之间只有该函数不同。尝试运行后randi版本的时间仍然是14秒左右。

为了保险起见，我还在重启电脑前后测试了randi版本的运行时间，结果是没有变化，也就是说，可以排除之前运行的程序可能残留的初值导致的运行时间的减少。

所以，我的结论是，使用randi函数生成随机整数，运行时间是使用较早版本MATLAB中的randint的时间1.1%，可以大幅度的提高仿真效率！！

3. 如何确定选取多少点

用Monte Carlo方法求解非线性规划时，一个非常重要的任务就是要确定选取多少点，点数过多则计算时间过长；点数太少则结果的准确性就会较差，如何取点是非常重要的。上述问题是纯整数规划，每个x可以取0至99共100个点，所以，全部验证所有可能性需要(100)^5=10^10个点，需要耗费大量的时间。

本文给出的，是验证10^6个点，下面粗略的说明，为什么验证10^6个点就足够了？（不失一般性，可以建设最优值点不是孤立的奇点）

假设每个点处的函数值落在高值区的可能性为0.01和0.00001，则当验证10^6个点后，至少有一个点落在高值区的概率为

$$1-0.99^{1000000} \approx 0.99 \dots 99（100多位）\\ 1-0.99999^{1000000} \approx 0.999954602$$
可见，我们验证10^6个点就可以在高值区找到一个点的可能性还是非常高的。

需要注意的是，上述叙述中使用的是“高值区”，而不是最优点，这二者是不同的，请仔细区分。

未完待续