投影矩阵P

在前面的两篇关于投影的文章中，我们的学习重点分别是：

1，如何计算一个任意向量b在另一个向量a上的投影。也就是计算投影系数 $\large \boldsymbol{\hat{x}}$ 和投影向量p(小写)。

线性代数 --- 投影Projection 一（投影向量p）_松下J27的博客-CSDN博客_线性投影线性代数中的投影矩阵p, p=xahttps://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/120516295

2，进一步加深投影即分量的理解。看到了任意向量b，在x,y坐标轴上的投影p1,p2，恰好且正好等于向量b在这些相互正交向量x,y上的分量。

线性代数 --- 投影Projection 二（投影即分量）_松下J27的博客-CSDN博客投影即分量https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/127746984

而学习投影矩阵的主要目的是：看看怎么把任意向量b投影到a上。换句话说，在前面的学习中，我们找出了向量b在二维平面中，分别在x轴和y轴上的两个相互垂直的投影/分量：

$\large p_x=\hat{x}x$ (Find x hat)

$\large p_y=\hat{x}y$ (Find x hat)

也计算出了向量b在三维平面中，分别在x-y平面和z轴上的两个相互垂直的投影/分量:

$\large p_x_y=\hat{x}V_x_y$ (Find x hat)

$\large p_z=\hat{x}z$ (Find x hat)

但“怎么”把 $\large R^{n}$ 空间中的一个任意向量b投影到这些我们指定的坐标轴上？就要用到我们这里要学习的投影矩阵P(用大写的英文字母P表示)，即:

$\large Pb=p$

比如说，我们要把任意向量b投影到向量a上，我们只要算出了投影系数 $\large \boldsymbol{\hat{x}}$ 就等于知道了投影向量p，但怎么把b投影到a上呢？就需要用到投影矩阵P，让这个矩阵P左乘向量b，就能得到同样的投影向量p，即如下关系：

$\large Pb=p=\hat{x}a$

更进一步说，前面学习的投影向量或投影系数，更像是在研究从向量b ---> 向量p(在向量a上)，这种一对一的关系。而投影矩阵更像是在研究多对多的关系，有了投影矩阵P(对应于向量a的)以后，就可以把空间中所有的向量b,c,d,e,f.....等，通通都投影到a上，得到投影向量p_b,p_c,p_d.....等。

比如说，我们有了可以把任意向量都投影到x轴的投影矩阵P以后（注意：这里投影矩阵P是专门针对于x轴的矩阵)，那么只要把投影矩阵P右乘空间中的任何一个向量v，就能把这个向量投影到x轴上了，并且得到投影向量p=Pv。

小结：研究投影向量/投影系数 $\large \boldsymbol{\hat{x}}$ 更像是在研究How much? 而研究投影矩阵更像是在研究How?

如果计算投影矩阵

$\LARGE Pb=\frac{aa^{T}}{a^{T}a}b=p=\hat{x}a=\frac{a^{T}b}{a^{T}a}a$

p的左边是一个矩阵乘以一个向量（所要强调的是投影矩阵P），p的右边是一个常数乘以一个向量（这里要强调的是投影系数的计算）。

二维空间中的投影矩阵

通过前面的投影即分量的学习，我们已经求出了，在二维x-y平面中，任意向量 b在x轴和y轴上的投影向量p1=[x 0]'和p2=[0 y]'。现在我们看看究竟是什么样的投影矩阵P? 才能把b投影到指定的方向上，即x轴方向和y轴方向。严格意义上说，不只是把b，而是可以把所有的矩阵都投影到指定的方向上。（请大家特别注意：我在文中专门用小写的英文字母p表示投影向量，用大写的英文字母P表示投影矩阵）