投影即分量

在上一篇文章中，我总结了两种计算投影向量的方法。一是用三角函数中夹角的余弦来证明和一是用两个相互垂直向量的内积为零证明的。老实说，在学习投影的过程中，我有很长一段时间都把学习的重点简单的放在，如何计算一个向量到另一个向量的投影p本身上。但是，为什么要学习这个？为什么线性代数的老教授Gilbert strang会把投影看的这么重？投影究竟有什么用？求出投影向量又能怎么样？种种的问题，不仅在学习投影之前，在学习投影的过程中，包括现在学习了很多遍投影以后，依然有。

知道就是知道，不知道就是不知道。光是靠背，没有用。希望我自己在后面的学习过程中，以及在整理和撰写投影这一系列的文章中，能找到答案。

这里，我们就一起来看看，如何更加直观的去理解投影的几何意义。那就是：在空间 $R^{n}$ 中，任意一个向量b在某个方向上的投影，即为b在该方向上的分量(A part of vector b)。

二维空间中，任意向量在x-y轴上的投影：

在二维空间中，我们把x轴用向量x=[x 0]'表示，把y轴用向量y=[0 y]'表示。向量x与向量y线性无关，且相互正交，他们共同张成了整个二维x-y平面。

在这个平面里的一个任意向量b=[x' y']'（注：方括号后的符号“ ' ”用于强调该向量为一个列向量，即行向量的转置)，在x轴所在的向量x和y轴所在的向量y上的投影分别为p1=[x' 0]'，p2=[0 y']'。利用之前求出的投影向量的计算公式：

分别求出p1和p2：

在x轴方向的投影为： $\large p1=\hat{x}x=\frac{x^{T}b}{x^{T}x}x=\begin{bmatrix} x'\\ 0 \end{bmatrix}$

在y轴方向的投影为： $\large p2=\hat{x}y=\frac{y^{T}b}{y^{T}y}y=\begin{bmatrix} 0\\ y' \end{bmatrix}$

且有，p1([x' 0]')加p2([0 y']')正好等于b([x' y']')：

$\large p1+p2=\begin{bmatrix} x'\\0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=b$

下面我们看一个实例，计算向量b=[1 1]'在二维x-y平面中，x轴和y轴上的投影：

也就是说在二维空间x-y平面中，任意向量b在x轴和y轴上的分量，正好且刚好是他在这两个方向上的投影，反之亦然。即：

$\large b\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}=p1\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}projectionX+p2\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} projectionY$

或

$\large p1\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}(A \; part \; of \; b)+p2\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} (Another \; part \; of \; b)=b\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$

三维空间中，任意向量在x-y轴上的投影：

同理，在三维空间中的一个任意向量b在x,y,z各轴上的投影也相仿，用向量x=[x 0 0]'，向量y=[0 y 0]'和向量z=[0 0 z]'分别表示x,y,z。他们彼此相互两两正交，张成了整个三维空间。

在这个三维空间中的任意向量b=[x' y' z']'，在x轴方向的投影/分量为[x' 0 0]'，在y轴方向的投影/分量为[0 y' 0]'，在z轴方向上的投影/分量为[0 0 z']'（在图中标出的p1）。其中，向量b在x-y平面上的投影为[x' y' 0]'。

小结：在上面的两个不同维度的空间中，我们并没有把向量b投影在空间中的另一个任意向量a上（虽然，一般的教科书在讲投影的时候都会这么开始）。而是，把b投影在了一些比较“special”的方向上，即，二维/三维空间中的坐标轴上。为的是，更加直观的感受到投影即分量我反复提及这一主题。又因为这些坐标轴彼此正交，所以，b向量在这些坐标轴上的投影也彼此正交。不仅如此，他们还互为正交补，也就是说，b的两个相互正交的投影的和正好等于b。

投影向量与误差向量互为正交补：（"正交"表示垂直，"补"表示他们的和为b）

在前面的例子中，都是把向量b投影在相互垂直的两个方向上，例如，x-y坐标轴上。因此，b在他们上面的投影也正交。现在我们不再把b投影到这些指定的坐标轴上，而是投影到空间中的一个任意向量a上（这也是最初计算投影向量p的情形)。更准确的说，是把重点放在向量b在向量a上的投影向量p和垂直于p的误差向量e上。其中，误差向量e正是投影向量p到向量b的连线，是一个始于点p(向量p的端点)终于点b(向量b的端点)的向量。

误差向量e与投影向量p满足如下关系：

$\LARGE e=b-p$