线性微分方程解的性质与结构

（一）微分方程

（1）一阶线性微分方程：y'+P(x)y=Q(x)

（2）二阶线性微分方程：y"+P(x)y+Q(x)=f(x)

（3）N阶线性为分方程：y^n+a(x)y^n-1+.....+an(x)y=f(x)；f(x)=0为齐次方程，f(x)1=0为非齐次方程

（二）性质

1.若函数y1(x),y2(x)是二阶线性方程y"+p(x)y'+Q(x)y=0的两个解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)也是该方程的解

2.若y1(x),y2(x)是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)是该方程的解

3.设y*是二阶齐次方程y"+p(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解则Y(x)是响应齐次方程的通解，则Y(x)+y*(x)是非齐次方程的通解

4.设y*_k(x)(k=1,2,3...n)分别是方程y"+p(x)y'+Q(x)y=f_k(x)(k=1,2,3...n)的特解，则y=y"_k的总和式是是方程的特解

（三）结构

1.Ax1=0;Ax2=0 则有A(x1+x2)=0,A(x1-x2)=0,A(c1x1+c2x2)=0

2.Ax1=b;Ax2=b 则有A(x1-x2)=0,而A(x1+x2)=2b什么也不是

3.Ax1=0;Ax2=b 则有A(x1+x2)=b,A(x2-x1)=b

4.Ax1=0;Ax2=0;Ax3=b 则有A(c1x1+c2x2)=0,A[(c1x1+c2x2)+x3]=b