【证明】欧拉定理及广义欧拉定理

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网上现在讲欧拉定理证明的文章好少啊，于是博主就在学习之后萌发了写一篇证明的想法，供大家参考。其实主要是自己找资料找得太辛苦，想为后来人节约一点时间罢了。

欧拉函数：

记为 $\phi(n)$或 $\varphi(n)$，程序中一般写作 $phi[n]$，读法为 $fai$，表示小于 $n$且与 $n$互质的数的个数。形式化一点的描述为 $\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)==1]$

其中 $[]$符号表示若其中表达式为真，则这一项的值为1，否则为0。
不过这个符号 $\varphi$更多用作推式子时候的变量而不是函数名

欧拉定理：

一般的欧拉定理叙述为：对于 $\forall a,m$，若 $gcd(a,m)=1$，则 $\forall n,a^n\equiv a^{n\mod \phi(m)}(mod\text{ }m)$

证明：

将 $1$至 $m$中所有与 $m$互质的数列出，记为 $x_1,x_2...x_{\phi(m)}$。

每一项乘上 $a$，形成的数列是 $ax_1,ax_2...ax_{\phi(m)}$。

可以证明，在模 $m$意义下，这两个数列是等价的，即它们可以构成一一对应，因为 $gcd(a,m)==1$。（证明很简单，这里就不详讲了）
那么我们将两个数列分别相乘，得到 $\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)}ax_i(mod\text{ }m)$
即 $\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\equiv a^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i(mod\text{ }m)$
那么就有 $a^{\phi(m)}\equiv 1(mod \text{ }m)$
得证。

广义欧拉定理：

广义欧拉定理的叙述为：对于 $\forall a,m$，若 $gcd(a,m)\ne 1$，则有 $a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)}(mod\text{ }m), (n<\phi(m))$ $a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m), (otherwise)$
我必须承认，第一句是废话，但是定理的叙述里面一直都有这句，本着严谨的态度，我还是把它搬上来了。。。（我自己都觉得无语）。
其实思维敏锐的读者也会发现，欧拉定理也满足广义欧拉定理，所以 $gcd(a,m)\ne 1$这个条件也可以去掉。

接下来我们试着证明一下第二条。 $a^n\equiv a^{n\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)$
为了方便叙述，我们给几个定理及定义：

将 $a$的0次，1次，…， $b$次幂模 $m$的结果排成一个序列，前 $r$个数( $a^0$到 $a^{r-1}$)互不相同，从第 $r$个数开始，每 $s$个数就循环一次。
可以用鸽巢原理证明，这样的 $r$和 $s$总是存在的。
我们称 $r$为a的幂次模 $m$的循环起始点， $s$为循环长度。注意 $r$可能为0，但 $s$一定不为0。

开始证明：

1.当 $a$为素数。

显然 $m=a^rm'$，则 $gcd(a,m')=1$，所以我们有 $a^{\phi(m')}\equiv1(mod\text{ }m')$又由于 $gcd(a^r,m')=1$，所以 $\phi(m')|\phi(m)$，所以 $a^{\phi(m)}\equiv1(mod\text{ }m')$
即 $a^{\phi(m)}=km'+1$两边同时乘以 $a^r$，得 $a^{r+\phi(m)}=km+a^r,because\text{ }m=a^rm'$
所以 $a^r≡a^{r+s}(mod\text{ }m)$，这里 $s=\phi(m)$，其实到这里证明已经快要接近尾声了，有兴趣的读者可以自己手推一下。

又由于 $m=a^rm'$，所以 $\phi(m)\ge\phi(p^r)=p^{r-1}(p-1)\ge r$
所以 $a^r\equiv a^{r+\phi(m)}\equiv a^{r\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)$
所以 $a^b\equiv a^{r+(b-r)\text{ }mod\text{ }\phi(m)}$ $\equiv a^{r\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)+(b-r)\text{ }mod\text{ }\phi(m)}$ $\equiv a^{\phi(m)+b\text{ }mod\text{ }\phi(m)}(mod\text{ }mod\text{ }m)$
即 $a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)$
第一情况得证。
这种情况证明出来了，马上我们的证明就要完成了。

2. $a$是质数 $p$的整数次幂

令 $a=p^k$。
显然仍然有 $a^{r'} \equiv a^{r'+s'}(mod\text{ }m)$其中 $s'=\phi(m)$。

由于对于质数我们有 $p^r \equiv p^{r+s}(mod\text{ }m)$而将 $m$中的质因子 $p$除去后的 $m'$，我们有 $p^s\equiv1 (mod\text{ }m')$。所以 $p^{s*k/gcd(s,k)}\equiv 1(mod\text{ }m')$。
当 $p^{s'k}≡1(mod\text{ }m')$时，我们有 $s'=s/gcd(s,k)$。

此时 $s'|s|\phi(m)$，且 $r'=\lceil \frac{r}{k}\rceil\le r\le\phi(m)$。

由 $r',s'$与 $\phi(m)$的关系，依然可以得到 $a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)$

3. $a$是合数

考虑 $a$是 $t$个素数的整数次幂的积的情况。
设 $a=\prod_{i=1}^{t}$， $a_i=p_i^{k_i}$， $a_i$在模 $m$意义下的循环节长度为 $s_i$

则 $a$的循环长度 $s$必有 $s|lcm(s_i)$，而 $s_i|\phi(m)$，所以 $lcm(s_i)|\phi(m)$，所以 $s|\phi(m)$

并且我们可以推出 $a$在循环前的长度 $r=max{\lceil \frac{r_i}{k_i}\rceil}\leq max\{r_i\}\leq\phi(m)$。
所以，当 $a$是合数时，我们仍然有 $a^b≡a^{b\text{ }mod\text{ }\phi(m)+\phi(m)}(mod\text{ }m)$

广义欧拉定理得证

以上就是关于欧拉定理内容及证明的叙述，欧拉函数的更多性质我会写在积性函数的总结里面。