线性变换的值域和核是正交的吗？

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如果 A 是 n 维线性空间的一个线性变换，那么有： $A 的秩 + A的零度 = n$也就是 $dimAV + dimA^{-1}(0) = dimV = n\tag{1}$

看上去它们互补，但是看一个例子：

在线性空间 $P[x]_n$中，令 $Df(x) = f'(x),$那么D的值域为子空间 $P[x]_{n-1}$,维数为n-1；核为子空间 $P$，维数为1。很明显， $N(D)\subseteq R(D)。$

有趣的是，A的核与 $A^T$的值域构成了全空间的直和分解： $\R^n = R(A^T)+N(A)$下面来证明：

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首先， $R(A^T)$和 $N(A)$都是 $\R^n$的子空间，且满足维数公式： $dimA^TV + dimA^{-1}(0) = dimV = n$这是因为A和行秩等于列秩，由(1)式直接得出。

其次， $R(A^T)$和 $N(A)$的交集只有零元素：
$if \;\;x \in \{x|x=A^Tz,\exist z\in\R^n\}=R(A^T), \\and\\ x\in\{x|Ax=0\}=N(A),$ $\Rightarrow x^Tx = z^TAx=0\\\Rightarrow x=0$

最后,任意 $R(A^T)$的向量和 $N(A)$中的向量正交： $\forall x \in \{x|x=A^Tz,\exist z\in\R^n\}=R(A^T),$ $\forall y\in\{y|Ay=0\}=N(A),$ $\Rightarrow x^Ty = z^TAy=0$
证毕。