线性变换引入

线性变换

矩阵乘以向量 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ ，可以看成函数，函数输入是向量 $\mathbf{x}$ ，输出是向量 $\mathbf{y}$ 。线性代数把函数看作变换，向量 $\mathbf{x}$ 变换成向量 $\mathbf{y}$ ，矩阵 $A$ 称为变换矩阵，变换矩阵作为一个整体。 $m$ 行 $n$ 列矩阵 $A$ 记为 $A_{mn}$ ，把 $n$ 维向量变换维 $m$ 维向量， $m、n$ 是任意自然数。 $m$ 维向量记为 $\mathbf{x_m}$ ，这样写的好处是可以看到维度。

定义 线性变换 设 $V_n$ , $U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间， $T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，如果映射 $T$ 满足：

1. 对任意 $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in V_n$ ，满足 $T(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w})$ 。

2. 对任意 $\mathbf{v}\in V_n,\lambda \in R$ ，满足 $T(\lambda\mathbf{v}) = \lambda T(\mathbf{v})$ 。

   $T$ 称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的线性映射或线性变换。

矩阵变换满足数乘和分配率 $A(\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}) = \alpha A\mathbf{v} + \beta A\mathbf{w}$ ，显然满足上面两个条件，所以是线性变换。物理意义是向量组线性组合（ $\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}$ ）的变换等于变换向量组 （ $A\mathbf{v}, A\mathbf{w}$ ）的线性组合。由于这个性质，只需要搞清楚基的变换，就可以得出任意向量的变换。

重要性质 令变换矩阵 $A_{mn}$ 把 $n$ 维空间中基 $V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})$ ，变换为 $m$ 维空间中 $n$ 个向量 $(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})$ ，则 $n$ 维空间中任意向量 $\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}$ ，变换为 $m$ 维空间的向量
$A(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}) = \alpha_1A\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_nA\mathbf{v_n} \\ = \alpha_1\mathbf{w_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{w_n}$

如何理解这个关系呢？我们只需要知道空间的基及其对应的变换向量组，则对任意向量，只需其基的表示系数组，就可以获得变换向量，即基变换向量组的线性组合，不需要知道变换矩阵本身！也就是说，变换矩阵由基变换关系 $(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})$ 唯一决定；或者说，由基变换关系 $(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})$ 可以得到变换矩阵。基变换关系是理解矩阵的核心！

重要性质 线性变换把线性空间变换为线性空间。

假设线性空间 $S(V)$ 由向量组 $V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})$ 张成，则矩阵 $A$ 变换后，向量组 $V$ 变换成向量组 $W=(A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n})$ ，则变换后的空间由向量组 $W$ 张成。

如果向量组 $V$ 是无关组，变换后的向量组 $W$ 一般来说是相关组，甚至可能都变换为 $\mathbf{0}$ 向量。只有变换矩阵 $A$ 的向量组是无关组时，向量组 $W$ 才会是无关组。

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