线性变换是一种映射，对于向量来说，就是线性空间到线性空间的映射。这里不严格给出线性变换的定义，但举例来说，投影变换、反射变换、不定积分等都可以看做是线性变换。与线性变换相对的是仿射变换，例如：

$T(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{a}$

就是一个仿射变换，访射变换可以理解为线性变换加上一个平移操作。

二维空间中，旋转算子对应的变换矩阵是

$A=\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta)& cos(\theta) \end{bmatrix}$

不失一般性，当

$\theta = \frac{\pi}{2}$

的时候，变换矩阵为:

$A=\begin{bmatrix} cos(\frac{\pi}{2}) & -sin(\frac{\pi}{2}) \\ sin(\frac{\pi}{2})& cos(\frac{\pi}{2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$

假设分别有两组基

$E=\begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &-3 \\ 3& 2 \end{bmatrix}$

$W=\begin{bmatrix} \vec{w}_1 & \vec{w}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 5& 4 \end{bmatrix}$

$\vec{x}$ 是以 $E$ 为基的向量 $\vec{v}$ 的坐标．

$\vec{x}= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{v}=E\vec{x}=\begin{bmatrix} 2 &-3 \\ 3& 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}=1\cdot\vec{v}_1 + 2\cdot \vec{v}_2= \begin{bmatrix} -4\\ 7 \end{bmatrix}$

$W\vec{a}_1=\vec{v}_1\Rightarrow \vec{a}_1=W^{-1}\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 0.560976\\ 0.048780 \end{bmatrix}$

$W\vec{a}_2=\vec{v}_2\Rightarrow \vec{a}_2=W^{-1}\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} -0.048780 \\ 0.560976\end{bmatrix}$

变换矩阵

$A=\begin{bmatrix} \vec{a}_1 &\vec{a}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.560976&-0.048780 \\ 0.048780 & 0.560976 \end{bmatrix}$

$\vec{y}=A\vec{x}= \begin{bmatrix} 0.560976&-0.048780 \\ 0.048780 & 0.560976 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0.46341\\ 1.17073 \end{bmatrix}$

$W\vec{y}=\begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 5& 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.46341\\ 1.17073 \end{bmatrix} ==\vec{v}$

恰好等于上面的 $\vec{v}$ 向量．

下面再给一个三维空间到二维空间下线性变换的例子

假设 $R^3$ 下的一组基为:

$E=\begin{bmatrix} \vec{v_1} &\vec{v_2} &\vec{v_3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1\\ 2 & 5 & 3\\ 3& 6& 1 \end{bmatrix}$

E满秩，非退化，可以作为三维空间的一组基．

$W$ 是 $R^2$ 下的一组基

$W=\begin{bmatrix} \vec{w}_1 & \vec{w}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 5& 4 \end{bmatrix}$

Ｗ也非退化，可以作为二维空间的一组基．

$W\vec{a}_1=\vec{v}_1\Rightarrow \vec{a}_1=W^{-1}\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 0.097561 &0.121951 \\ -0.121951& 0.097561 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.341463\\ 0.073171 \end{bmatrix}$

$W\vec{a}_2=\vec{v}_2\Rightarrow \vec{a}_2=W^{-1}\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 0.097561 &0.121951 \\ -0.121951& 0.097561 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\ 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$W\vec{a}_3=\vec{v}_2\Rightarrow \vec{a}_3=W^{-1}\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 0.097561 &0.121951 \\ -0.121951& 0.097561 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.46341\\ 0.17073\end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} \vec{a}_1 &\vec{a}_2 &\vec{a}_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.341463 & 1& 0.46341\\ 0.073171& 0& 0.17073 \end{bmatrix}$

设基Ｅ下一三维向量 $\vec{x}$

$\vec{x}= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 9\\ 10\\ 11 \end{bmatrix}$

$\vec{v} = 9\vec{v1} + 10\vec{v_2}+ 11\vec{v_3} =\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1\\ 2 & 5 & 3\\ 3& 6& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 9\\ 10\\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 60\\ 101\\ 98 \end{bmatrix}$

$L(\vec{v})=\vec{y}=A\vec{x}=\begin{bmatrix} 0.341463 & 1& 0.46341\\ 0.073171& 0& 0.17073 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 9\\ 10\\ 11 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 18.1707\\ 2.5366 \end{bmatrix}$

验证:

$W\vec{y}=\begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 5& 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 18.1707\\ 2.5366 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 60.000\\ 101.000 \end{bmatrix}==\vec{v}$

验证成立，

$\begin{bmatrix} 60.000\\ 101.000 \end{bmatrix}$ 恰好是以 $Ｅ$ $E$ 为基，以 $\vec{x}$ 为坐标的三维( $R^3$ )在二维空间( $R^2$ )上的投影．

z轴坐标可以不用考虑，因为z轴正交于xoy平面，投影到二位空间后，z维度信息消失了．

$E=\begin{bmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$W=\begin{bmatrix} \vec{w_1} & \vec{w_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1 & 0 \end{bmatrix}$

$W^{-1} = \begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1&0 \end{bmatrix}$

$L(\vec{x}) = \begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = (-x_2, x_1)^T$

$L(\vec{v}_1) =W\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$L(\vec{v}_2) = W\vec{v}_2=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix}$

$W\vec{a}_1=L(\vec{v}_1)\Rightarrow \vec{a}_1=W^{-1}L(\vec{v}_1) = \begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$W\vec{a}_2=L(\vec{v}_2)\Rightarrow \vec{a}_2=W^{-1}L(\vec{v}_2) = \begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} \vec{a}_1 &\vec{a}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

$\vec{x}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

$\vec{v}= 2\vec{v_1}+3\vec{v_2}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

$\vec{y}= A\vec{x}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

所以，对应 $E\rightarrow W$ 的线性变换，变换后，以W为基的坐标仍为

$\vec{y}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

所以，以标准坐标系度量的，变换后的向量实际上为:

$\vec{v'} = 2\vec{w}_1 + 3\vec{w}_2 = W\vec{y} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{v}$ 是变换前的向量， $\vec{v'}$ 是变换后的向量。发现它们正好是垂直的关系，表示旋转90度的线性变换，符合预期:

或者这样理解

$R^2\rightarrow R^2$ 映射的基分别为

$\begin{bmatrix} \vec{u}_1 &\vec{u}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \vec{b}_1 &\vec{b}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\\ L(\vec{u}_1)=1*\vec{b}_1 + 0 *\vec{b}_2 \\ L(\vec{u}_2)=0*\vec{b}_1 + 1 *\vec{b}_2$

$\begin{bmatrix} L(\vec{u}_1) & L(\vec{u}_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{b}_1 & \vec{b}_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

所以，变换是单位矩阵．原因可能是线性变换和基重合了．

倒过来看:

$E=\begin{bmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1 & 0 \end{bmatrix}$

$W=\begin{bmatrix} \vec{w_1} & \vec{w_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$W^{-1} = W$

$L(\vec{x}) = \begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = (x_2, -x_1)^T$

$L(\vec{v}_1) =W\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$L(\vec{v}_2) =W\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$W\vec{a}_1=L(\vec{v}_1)\Rightarrow \vec{a}_1=W^{-1}L(\vec{v}_1) = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
$W\vec{a}_2=L(\vec{v}_2)\Rightarrow \vec{a}_2=W^{-1}L(\vec{v}_2) = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} \vec{a}_1 &\vec{a}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

$\vec{x}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

$\vec{v}= 2\vec{v_1}+3\vec{v_2}=\begin{bmatrix} -3\\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{y}= A\vec{x}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

所以，对应 $E\rightarrow W$ 的线性变换，变换后，以W为基的坐标为

$\vec{y}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

所以，以标准坐标系度量的，变换后的向量实际上为:

$\vec{v'} = 2\vec{w}_1 + 3\vec{w}_2 = W\vec{y} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

$L(\vec{x}) = (x_2, x_1 + x_2, x_1 - x_2)^T$

求L相应于有序基

$\begin{bmatrix} \vec{u_1} &\vec{u_2} \end{bmatrix}$

和

$\begin{bmatrix} \vec{b_1} &\vec{b_2} &\vec{b_2}\end{bmatrix}$

的表示矩阵,其中

$\vec{u_1}=(1,2)^T, \vec{u}_2=(3, 1)^T$

且

$\vec{b}_1 = (1, 0, 0)^T, \vec{b}_2=(1, 1, 0)^T, \vec{b}_3=(1, 1, 1)^T$

求解过程:

$L(\vec{u_1}) = (2, 1+2, 1-2)^T=(2,3,-1)^T$

$L(\vec{u_2}) = (1, 3+1, 3-1)^T=(1,4,2)^T$

$W=\begin{bmatrix} \vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \vec{b}_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1&1 \\ 0 & 1& 1\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

$\vec{a_1}= W^{-1}L(\vec{u}_1)=\begin{bmatrix} 1 & 1&1 \\ 0 & 1& 1\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1&0 \\ 0 & 1& -1\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ 4\\ -1 \end{bmatrix}$

$\vec{a_2}= W^{-1}L(\vec{u}_2)=\begin{bmatrix} 1 & 1&1 \\ 0 & 1& 1\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1&0 \\ 0 & 1& -1\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\ 2\\ 2 \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} \vec{a}_1 & \vec{a}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 4& 2\\ -1& 2 \end{bmatrix}$

假设

$\vec{x}=\begin{bmatrix} 5\\ 6 \end{bmatrix}$

$\vec{v}=5\vec{u}_1 + 6\vec{u}_2 = \begin{bmatrix} 23\\ 16 \end{bmatrix}$

$\vec{y}=A\vec{x}= \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 4& 2\\ -1& 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\\ 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -23\\ 32\\ 7 \end{bmatrix}$

$L(\vec{v})=(16,39, 7)^T$

$W\vec{y} =\begin{bmatrix} 1 & 1&1 \\ 0 & 1& 1\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -23\\ 32\\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16\\ 39\\ 7 \end{bmatrix}$

$W\vec{y}= L(\vec{v})$

令

$\vec{u}_1=\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}, \vec{u}_2=\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix}$

令 $L$ 为将 $R^2$ 中将向量逆时针旋转45度的线性算子，求 $L$ 相应于有序基 $\begin{bmatrix} \vec{u_1} &\vec{u_2} \end{bmatrix}$ 的表示矩阵。

$\vec{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}$

$L(\vec{x}) = \begin{bmatrix} cos(\frac{\pi}{4}) & -sin(\frac{\pi}{4})\\ sin(\frac{\pi}{4}) & sin(\frac{\pi}{4}) \end{bmatrix}\vec{x}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\vec{x} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}x_1 - \frac{\sqrt{2}}{2}x_2& \frac{\sqrt{2}}{2}x_1 + \frac{\sqrt{2}}{2}x_2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} L(\vec{u_1}) & L(\vec{u_2}) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec{u_1}&\vec{u_2} \end{bmatrix}$

变换矩阵为

$\begin{bmatrix} \vec{u_1}&\vec{u_2} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec{u_1}&\vec{u_2} \end{bmatrix}$

可以看出，不同的基下，同一个变换之间是相似的。

令

$E=\begin{bmatrix} \vec{u}_1 &\vec{u}_2 & \cdots & \vec{u}_n \end{bmatrix}$

及

$F=\begin{bmatrix} \vec{b}_1 &\vec{b}_2 & \cdots & \vec{b}_m \end{bmatrix}$

分别为 $R^n$ 和 $R^m$ 的有序基，若 $L: R^n\rightarrow R^m$ 为一线性变换，且 $A$ 为 $L$ 相应于 $E$ 和 $F$ 的表示矩阵，则:

$\vec{a}_j = B^{-1}L(u_j), \qquad j=1,2,\cdots,n$

其中

$B=(\vec{b}_1, \vec{b}_2, \cdots, \vec{b}_m)$

证明过程:

若 $A$ 为 $L$ 相应于 $E$ 和 $F$ 的表矩阵，则对 $j=1,2,\cdots, n$ ,有:

$L(\vec{u}_j) = a_{1j}\vec{b}_1 + a_{2j}\vec{b}_2 + \cdots + a_{mj}\vec{b}_m = B\vec{a}_j$

矩阵 $B$ 为非奇异方阵，因为它是 $R^m$ 的一组基，所以:

$\vec{a}_j=B^{-1}L(\vec{u}_j), \qquad j=1, 2, \cdots, n$

举栗子:

$E=\begin{bmatrix} \vec{u}_1 &\vec{u}_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \quad \vec{u}_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \vec{u}_2 = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$F=\begin{bmatrix} \vec{b}_1 &\vec{b}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix},\quad \vec{b}_1 = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, \vec{b}_2 = \begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix}$

则 $E$ 和 $F$ 分别为 $R^2$ 空间中，两个互相垂直的正交基。

设变换 $L:$ 逆时针旋转45°，则 $L$ 相应于 $E$ 和 $F$ 的表示矩阵A求解过程为:

$L$ 相应于 $E$ 和 $F$ 的表示矩阵，即是 $E$ 中的 $\vec{x}$ 经 $L$ 变换后，在 $F$ 中的坐标表示。

$L(\vec{x}) = \begin{bmatrix} cos(\frac{\pi}{4}) & -sin(\frac{\pi}{4})\\ sin(\frac{\pi}{4}) & cos(\frac{\pi}{4}) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}x_1 - \frac{\sqrt{2}}{2}x_2\\ \frac{\sqrt{2}}{2}x_1+ \frac{\sqrt{2}}{2}x_2 \end{bmatrix}$

则

$L(\vec{u}_1)=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

$L(\vec{u}_2)= \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

所以:

$\vec{a}_1=B^{-1}L(\vec{u}_1)=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

$\vec{a}_2=B^{-1}L(\vec{u}_2)=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

所以:

$A=\begin{bmatrix} \vec{a}_1 & \vec{a}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(-\frac{\pi}{4}) & -sin(-\frac{\pi}{4})\\ sin(-\frac{\pi}{4}) & cos(-\frac{\pi}{4}) \end{bmatrix}$