线性变换就相当于一个空间到另外一个空间的转换，在数学建模时经常用到，T（x）这个x可以时一个空间中的坐标，或者是基，或者是向量，线性变化就是将这些乘以一个矩阵，转换到另外一个空间来表示，这个矩阵是线性变换的数学表示，不同的矩阵代表着不同的线性变换，当然线性变换在不同的的基下由不同的矩阵表示，不同基之间的转换矩阵称之为过渡矩阵，不同基下的线性变换表示可以通过过渡矩阵来求得。
正交变换是线性变换的一种特例，其表示经过线性变换之后其向量的长度也就是内积不发生改变。当然对应的其也有相应的矩阵表示，这个矩阵是正交矩阵（各行两两正交、各列两两正交）。在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。标准正交基经过正交变换之后其仍是标准正交基。
对称变换是线性变换的一张特例，其表示经过线性变换之后其向量的内积是相同的，相应的矩阵有的特性为：这个矩阵是对称矩阵。对称变换在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵。
正交投影变换我认为也是线性变换的一种，其表示的正交投影矩阵就相当于不同线性变化的A，只是它是由特殊的性质，A*A = A，A的转置为A，正交投影矩阵就相当于广义逆矩阵中的单位阵。