狄利克雷卷积

狄利克雷卷积是积性函数的一种运算。
也就是

$$h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})$$ 就酱。
常用的狄利克雷卷积：
莫比乌斯函数
$$\mu*U=I\quad 即\quad \sum_{d|n}\mu(d)=\begin{matrix}1\ (n=0)\\ 0\ (n>1) \end{matrix}$$
欧拉函数
$$phi*U=N,N(n)=n\quad即\quad \sum_{d|n}phi(d)=n$$
欧拉函数和莫比乌斯
$$\mu*N=phi,N(n)=n\quad 即\quad \sum_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}=\sum_{d|n}d\mu(\dfrac{n}{d})=phi(n)$$
上述式子在我的其他博客都给出了证明，容斥搞一搞。
狄利克雷卷积可以用到筛法里面。
比如设 $f(i)$是一个积性函数。求 $S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$。
现在我们设一个积性函数 $g(x)$。
$$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\dfrac{i}{d})=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^df(i)$$
学不动了老哥，过段时间在写，数学硬伤