【积性函数+欧拉函数+狄利克雷卷积】2017CCPC杭州站B——HDU-6265 Master of Phi

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【积性函数+欧拉函数+狄利克雷卷积】2017CCPC杭州站B——HDU-6265 Master of Phi

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6265

题意：
一次输入一个正数分解质因数的各项底数与指数，求算：
$\sum{_{d|n}} \rho(d)* {(n|d)}$

知识补充：

1. 狄利克雷三连：
   （1）狄利克雷卷积： $(f*g)(n)=\sum{_{d|n}} f(d)*g(n|d)$
   （2）两个积性函数的狄利克雷卷积仍是积性函数
   （3）欧拉函数和 $f(x)=x$都是积性函数
   那么就可以看出积性函数：
   $h(d)=\sum{_{d|n}} \rho(d)*(n|d)$

根据积性函数的特性， $h(d)=\prod{_{i=1}^{m}}h(p_i^{q_i})$，下面要解决的就是如何求 $h(p^q)$

由题给公式可以得到：(p是质数（n的质因子）)，d的所有取值可能有{ $1,p^1,p^2,p^3,...,p^q$}
$h(p^q)=\sum_{d|p^q}\rho(d)*(p^q|d)=\sum_{i=0}^q\rho(p^i)*p^{q-i}$

根据欧拉函数：
$\rho(p^k)=p^k*(1-1|p)$
维基百科证明

进一步化解：
$h(p^q)=p^q+\sum_{i=1}^q p^i(1-1|p)*p^{q-i} =p^q+p^{q-1}*(p-1)*q$
所以推倒得到公式：
$ans=\prod p^q+p^{q-1}(p-1)*q$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
const int MOD=998244353;



ll powmod(ll a,ll n,ll mod)
{
	ll ret=1;
	a%=mod;
	while(n)
	{
		if(n&1)ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;
		n>>=1;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		ll m;
		cin>>m;
		ll sum=1;
		//
		while(m--)
		{
			ll p,q;
			cin>>p>>q;
			ll tmp=0;	
			tmp=(tmp+powmod(p,q,MOD))%MOD;
			tmp=(tmp+powmod(p,q-1,MOD)*(p-1)%MOD*q%MOD)%MOD;
			sum=(sum*tmp)%MOD;
		}
		cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}

参考：
https://blog.csdn.net/Tighway/article/details/82384614