狄利克雷卷积
得记下来,不然很容易忘记呀
数论函数
数论函数:定义域是正整数，值域是一个数集
两个数论函数加法 ，逐项相加 $(f+g)(n) = f(n) + g(n)$
数乘 ， 这个数和每一项乘：$(xf)(n)=x*f(n)$
积性函数：对于一个数论函数f满足对于任意$(x,y)=1$，有$f(xy) = f(x)f(y)$那么f函数是一个积性函数
完全积性函数:$f(xy)=f(x)(y)$
常见的函数:
$\phi(n)$1和n中和n互质的数字个数,是积性函数
$\mu (n)$莫比乌斯函数,是积性函数
$e(n)=[n=1]$单位元,相当于判断一个数是不是1,完全积性函数
狄利克雷卷积
设f和g是两个数论函数,并且对于任意的$n>=1$,存在 $$h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})$$
那么称h是f和g的狄利克雷卷积
可以写成:$h(n) = \sum_{ij=n}f(i)g(j)$
狄利克雷卷积性质
定义f,g的狄利克雷卷积为$ast$
1.$交换律f\ast g=g\ast f$
根据和式的交换律可以证明.
2.$结合律(f \ast g) \ast h = f \ast (g \ast h)$
转换成狄利克雷卷积形式就可以看出来了.
3.$分配律(f +g)\ast h = f\ast h + g \ast h$
转换成狄利克雷卷积形式就可以看出来了.
4.$(xf) \ast g = x(f\ast g)$
同上
5.$e \ast f = f ， e在前文中提到过,单位根$
6.逆元 对每个$f(1) ≠ 0$的函数$f$,都存在一个$g$使得$f\ast g = e$
狄利克雷卷积的重要结论
两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数。
证明以后再说吧.....我不太会.....
这个结论杜教筛的时候可以用到.