略谈狄利克雷卷积

1.一句话定义：

狄利克雷卷积是形如 $f(x)=g(x)*h(x)$的式子（*是狄利克雷卷积符号，我也不知道手写叉乘行不行 ），它表示的含义为 $f(x)=\sum_{d|x} g(d)\times h(x/d)$.

2.性质：

狄利克雷卷积满足交换律，结合律。如：
$f(x)*g(x)=g(x)*h(x),f(x)*g(x)*h(x)=f(x)*(g(x)*h(x))$。

还有一个很强的性质：
若 $f(x)=\sum_{d|x}g(d)\times h(x/d)$， $g,h均为积性函数，则f也是积性函数。$(我的天啊！）
下面给出证明：
$设f(x)=\sum_{d|x}g(d)\times h(x/d)，有两个互质的正整数n,m。$
$则我们的目标是证明f(nm)=f(n)\times f(m)$。
我们尝试一下从结论出发,
$f(nm)=f(n) \times f(m)$

$\sum_{ab|nm}g(ab) \times h(nm/ab)=(~~\sum_{a|n}g(a) \times h(n/a)~~ )\times( ~~ \sum_{b|m}g(b) \times h(m/b) ~)$

$\sum_{ab|nm}g(a) \times h(n/a) \times g(b) \times h(m/b)=(~~\sum_{a|n}g(a) \times h(n/a)~~ )\times( ~~ \sum_{b|m}g(b) \times h(m/b) ~)(积性函数的性质得到）$

因为a，b互质，所以二者互不相干。如果我们把a看作一个常量，那么等式左边可化为 $\sum_{a|n}g(a) \times h(n/a) \times ( ~~ \sum_{b|m}g(b) \times h(m/b) ~)$=
$(\sum_{a|n}g(a) \times h(n/a) )\times ( ~~ \sum_{b|m}g(b) \times h(m/b) ~)$。
（感性理解即可）

我们的每一变换都是恒等变化，所以我们也可以由下推到上，也就证明了这个性质的正确性。

3.用途:

狄利克雷卷积可以用来证明莫比乌斯反演。
除此以外，我们还可以利用狄利克雷卷积的强大性质来加快求和。

例题(POJ2480 Longge’s problem)：

Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N.
“Oh, I know, I know!” Longge shouts! But do you know? Please solve it.

设 $id(x)=x$,
$把d当做gcd(i,n),$
$\sum_{i=1}^n gcd(i,n)=\sum_{i=1}^n d \times [gcd(i/d,n/d)==1]=$
$\sum_{d|n} d\times \sum_{i=1}^{n/d} [gcd(i,n/d)==1]=\sum_{d|n} d\times \phi(n/d)=id(n)* \phi(n)$
（狄利克雷卷积）
那么，我们可以直接质因数分解n，利用上面的性质求解。
下面有一个暴力，一个正解。

//vio
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned int ui;
typedef long long ll; 
int p[11],s[11],n;
ll ans;
void dfs(int k,int sum,int phi)//第k个质数，sum为约数d，phi为d的欧拉函数值。
{
	if(k>p[0])
	{
		ans+=n/sum*phi;
		return;
	}
	dfs(k+1,sum,phi);
	ll x=p[k];
	for(int i=1;i<=s[k];i++)//p[k]^i
	{
		dfs(k+1,sum*x,(ll)phi*(x/p[k])*(p[k]-1));
		x*=p[k];
	}
}
int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		p[0]=0;
		memset(s,0,sizeof(s));
		int x=n;
		for(ll i=2;i*i<=x;i++)
			if(x%i==0)
			{
				p[++p[0]]=i;
				do
				{
					x/=i;
					s[p[0]]++;
				}while(x%i==0);
			}
		if(x>1)p[++p[0]]=x,s[p[0]]=1;
		ans=0;
		dfs(1,1,1);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}
 

//std
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ans;
int n,p,s;
int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		ans=1;
		for(ll i=2;i*i<=n;i++)
			if(n%i==0)
			{
				s=0;p=1;
				do
				{
					n/=i;
					p*=i;
					++s;
				}while(n%i==0);
				ans*=(ll)(s*(i-1)*p/i)+p;
			}
		if(n>1)ans*=(ll)(n-1)+n;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}