【概率论】随机变量函数的分布

选择题

1. 设随机变量X的分布函数为Fₓ(x),则Y=2X+1的分布函数为 $F_Y(y)$ 是（）
   A. $F_Y(y)=F_x\left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
   B. $F_Y(y)=F_x\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
   C. $F_Y(y)=F_x\left(\frac{1}{2}y-1\right)$
   D. $F_Y(y)=F_x\left(\frac{1}{2}y+1\right)$
   【正确答案:A】

2. 设随机变量 X~U(0,2),令Y=min{X,1}, 则 P{0.5<Y<1.5}=（）。
   A. 1/2.
   B. 1/4.
   C. 3/4.
   D. 1/3.
   【正确答案:C】

3. 设随机变量 X~N(0,1),其分布函数记为φ(x),令 Y = min{X,0}, 则有（）。
   A. P { Y ≤ y } = { 1 , y > 0 Φ ( y ) , y ≤ 0 P\{Y\le y\} = \left\{\begin{array}{lr}1, & y > 0\\ \Phi(y), & y \le0 \end{array}\right. P{ Y≤y}={ 1,Φ(y),​y>0y≤0​
   B. P { Y ≤ y } = { 1 , y ≥ 0 Φ ( y ) , y < 0 P\{Y\le y\} = \left\{\begin{array}{lr}1, & y \ge 0\\ \Phi(y), & y <0 \end{array}\right. P{ Y≤y}={ 1,Φ(y),​y≥0y<0​
   C. P { Y ≤ y } = { 0 , y ≤ 0 Φ ( y ) , y > 0 P\{Y\le y\} = \left\{\begin{array}{lr}0, & y \le 0\\ \Phi(y), & y >0 \end{array}\right. P{ Y≤y}={ 0,Φ(y),​y≤0y>0​
   D. P { Y ≤ y } = { 0 , y < 0 Φ ( y ) , y ≥ 0 P\{Y\le y\} = \left\{\begin{array}{lr}0, & y <0\\ \Phi(y), & y \ge 0 \end{array}\right. P{ Y≤y}={ 0,Φ(y),​y<0y≥0​
   【正确答案:B】

4. 设随机变量 X~Exp(1), 令 Y = max ⁡ { X , 1 X } Y= \max \{ X, \frac {1}{X} \} Y=max{ X,X1​} ,则概率 P{Y < 2}=（）。
   A. e²
   B. $e^{-\frac{1}{2}}$
   C. $e^{-\frac{1}{2}}-e^{-2}$
   D. $1-e^{-\frac{1}{2}}-e^{-2}$
   【正确答案:C】

5. 设随机变量X~N(0,1),其分布函数记为φ(x),令Y=φ(x),则概率 P { Y > 2 3 } P \{ Y> \frac {2}{3} \} P{ Y>32​} =（）。
   A. $\frac{1}{3}$
   B. $\frac{2}{3}$
   C. $\frac{1}{2}$
   D. $1-\Phi \left(\frac{2}{3}\right)$
   【正确答案:A】

6. 设X是非负随机变量，且已知 X²~U(0,1), 则X的密度函数是（）。
   A. $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& others.\end{array}$
   B. $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{x}},& 0<x<1,\\ 0,& others\end{array}$
   C. $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1,\\ 0,& obhers.\end{array}$
   D. $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3\sqrt{x}}{2},& 0<x<1,\\ 0,& others.\end{array}$
   【正确答案:A】