连续型随机变量函数的分布

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设已知 $X$的分布函数 $F_X(x)$或概率密度函数 $f_X(x)$，则随机变量函数 $Y=g(X)$的分布函数可按如下方法求得： $\begin{aligned} F_Y(y) & =P\{Y \leqslant y\} \\ & = P\{g(X)\leqslant y\} \\ & = P\{X \in C_y\} \\ & = \int_{C^y}f_X(x)dx \\ \end{aligned}$其中 $C_y = \{x | g(x) \leqslant y\}$

公式法求连续型随机变量函数的分布
设连续型随机变量 $X$的密度函数为 $f_X(x)$，若 $y=g(x)$是处处可导且恒有 $g'(x) > 0$或 $g'(x) < 0$的函数(即 $g(x)$单调)，其反函数为 $x=g^{-1}(y)$，则 $Y=g(X)$的概率密度函数为 $f_Y(y) = \begin{cases} f_X(g^{-1}(y))|g^{-1}(y)'|, & \alpha < y < \beta \\ 0, & otherwise \end{cases}$
其中 $\alpha = \min\{g(-\infty), g(\infty)\}$ $\beta = \max\{g(-\infty), g(\infty)\}$