解题思路
数学题，推式子。求\(f(n)=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^iS(i,j)2^jj!\)
首先可以把\(j\)往前提：
\[f(n)=\sum\limits_{j=0}^n2^jj!\sum\limits_{i=0}^nS(i,j)\]
然后把斯特林数按照通项展开：
\[f(n)=\sum\limits_{j=0}^n2^jj!\sum\limits_{i=0}^n\tfrac{1}{m!}\sum\limits_{k=0}^j(-1)^kC(j,k)(j-k)^i\]
众所周知，里面那个玩意可以写成卷积的形式：
\[f(n)=\sum\limits_{j=0}^n2^jj!\sum\limits_{k=0}^j\tfrac{(-1)^k}{k!}\tfrac{\sum\limits_{i=0}^n(j-k)^i}{(j-k)!}\]
继续发现里面的第二项的分子是等比数列求和，设\(A(x)=\tfrac{(-1)^x}{k!}\)，\(B(x)=\tfrac{\sum\limits_{i=0}^nx^i}{x!}\)，把\(B\)里面的等比数列求和：
\[B(x)=\tfrac{i^{n+1}-1}{i!(i-1)}\]
突然发现似乎所有东西都能求了，直接上\(NTT\)求卷积，再扫一遍就行了。时间复杂度\(O(nlogn)\)。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100005;
const int MOD=998244353;
typedef long long LL;
int n,A[N<<2],B[N<<2],rev[N<<2];
int fac[N],inv[N],limit=1,ans;
inline int fast_pow(int x,int y){
int ret=1;
for(;y;y>>=1){
if(y&1) ret=(LL)ret*x%MOD;
x=(LL)x*x%MOD;
}
return ret;
}
inline int add(int x){
if(x<0) x+=MOD;if(x>=MOD) x-=MOD;return x;
}
inline void NTT(int *f,int type){
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
int Wn,w,tmp;
for(int i=2;i<=limit;i<<=1){
Wn=fast_pow(3,(MOD-1)/i);
for(int j=0,len=i>>1;j<limit;j+=i){w=1;
for(int k=j;k<j+len;k++){
tmp=(LL)w*f[k+len]%MOD;f[k+len]=add(f[k]-tmp);
f[k]=add(f[k]+tmp);w=(LL)w*Wn%MOD;
}
}
}
if(type==1) return ;
int INV=fast_pow(limit,MOD-2);
reverse(f+1,f+limit);
for(int i=0;i<limit;i++) f[i]=(LL)f[i]*INV%MOD;
}
int main(){
scanf("%d",&n);fac[0]=B[0]=1;B[1]=n+1;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD;
inv[n]=fast_pow(fac[n],MOD-2);
for(int i=n-1;~i;i--) inv[i]=(LL)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
while(limit<=2*n) limit<<=1;
for(int i=0;i<limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(limit>>1):0);
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=(i&1)?(MOD-inv[i]):inv[i];
for(int i=2;i<=n;i++)
B[i]=(LL)(fast_pow(i,n+1)-1)*inv[i]%MOD*fast_pow(i-1,MOD-2)%MOD;
NTT(A,1);NTT(B,1);
for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=(LL)A[i]*B[i]%MOD;
NTT(A,-1);int now=1;
for(int i=0;i<=n;i++){
ans=(ans+(LL)fac[i]*now%MOD*A[i]%MOD)%MOD;
now<<=1;if(now>=MOD) now-=MOD;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}