自然数幂和 拉格朗日插值法和第二类斯特林数法

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写在这里，目的是在以后需要看的时候不用再去网上抄（划掉）

$$求s(n)=\sum_{i=1}^n i^k$$

拉格朗日插值法

给定若干个点值，(x0,y0)，(x1,y1)，(xn,yn)，它们的差值多项式

$$L(x)=\sum_{i=0}^nyi*\prod_{j\neq i}{x-xj\over xi-xj}$$
听说自然数幂和可以表示为k+1次多项式函数。
求自然数幂和的时候，就直接取点值为(0,s(0))，(1,s(1))，(k+1,s(k+1))
于是
$$L(n)=\sum_{i=0}^{k+1}s(i)*\prod_{j\neq i}{n-j\over i-j}$$
$$L(n)=\sum_{i=0}^{k+1}s(i)*(-1)^{k+1-i}{n(n-1)...(n-i+1)(n-i-1)...(n-k-1)\over i!(k+1-i)!}$$
预处理k以内的自然数幂和，求个逆元就好了。
复杂度 $O(k)$

第二类斯特林数法

但是如果不能求逆元
已知（显然）

$$n^k=\sum_{i=0}^k \left\{ ^k_i \right\}*n^{\underline i}$$
可以用组合意义理解。
那么
$$\sum_{i=1}^n i^k=\sum_{j=1}^n\sum_{i=0}^k \left\{ ^k_i \right\}*j^{\underline i}$$
$$=\sum_{i=0}^k \left\{ ^k_i \right\}\sum_{j=1}^nj^{\underline i}$$
$$=\sum_{i=0}^k \left\{ ^k_i \right\}i!\sum_{j=1}^nC_j^i$$
$$=\sum_{i=0}^k \left\{ ^k_i \right\}i!C_{n+1}^{i+1}$$
这样的话就不用逆元了，复杂度是 $O(k^2)$