「Luogu5395」【模板】第二类斯特林数·行

「Luogu5395」【模板】第二类斯特林数·行

problem

Solution

一句话题意：求\(_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\)

根据第二类斯特林数的展开式，有
\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(k-i)^n\]

具体证明可以看这里

进一步整理，式子化为

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^i}{i!}\times \frac{(k-i)^n}{(k-i)!}\]

可以发现这是一个卷积的形式

构造多项式

\[F(x)=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}x^i\]

\[G(x)=\sum_{i=0}^n\frac{i^n}{i!}x^i\]

\[S(x)=F(x)*G(x)\]

则\(S(x)\)的\(k\)次项系数即为\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)

预处理阶乘的逆元

本题的模数有原根\(3\)，所以直接用\(NTT\)做卷积就可以了

时间复杂度\(O(n\log n)\)

Code

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define inv(x) (fastpow((x),mod-2))
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=200005;
const ll mod=167772161,g=3,ig=55924054;
int n;
ll a[maxn<<2],b[maxn<<2],ifac[maxn];

ll fastpow(ll a,ll b)
{
    ll re=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            re=re*base%mod;
        base=base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return re;
}

int len;
int rev[maxn<<2];

void NTT(ll *f,int type)
{
    for(register int i=0;i<len;++i)
        if(i<rev[i])
            swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(register int p=2;p<=len;p<<=1)
    {
        int length=p>>1;
        ll unr=fastpow(type==1?g:ig,(mod-1)/p);
        for(register int l=0;l<len;l+=p)
        {
            ll w=1;
            for(register int i=l;i<l+length;++i,w=w*unr%mod)
            {
                ll tt=f[i+length]*w%mod;
                f[i+length]=(f[i]-tt+mod)%mod;
                f[i]=(f[i]+tt)%mod;
            }
        }
    }
    if(type==-1)
    {
        ll ilen=inv(len);
        for(register int i=0;i<len;++i)
            f[i]=f[i]*ilen%mod;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ifac[0]=1;
    for(register ll i=1;i<=n;++i)
        ifac[i]=ifac[i-1]*i%mod;
    ifac[n]=inv(ifac[n]);
    for(register ll i=n-1;i;--i)
        ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    for(register int i=0,o=1;i<=n;++i,o=mod-o)
        a[i]=o*ifac[i]%mod,b[i]=fastpow(i,n)*ifac[i]%mod;
    for(len=1;len<=n+n;len<<=1);
    for(register int i=1;i<len;++i)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(len>>1):0);
    NTT(a,1);
    NTT(b,1);
    for(register int i=0;i<len;++i)
        a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,-1);
    for(register int i=0;i<=n;++i)
        printf("%lld ",a[i]);
}