Leetcode(53)-- 最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

第一种方法：暴力枚举法

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        sumlist = []
        for i in range(len(nums)-1):
            sum = nums[i]
            sumlist.append(nums[i])
            for j in range(i+1,len(nums)):
                sum+=nums[j]
                sumlist.append(sum)
        sumlist.append(nums[len(nums)-1])
        return max(sumlist)

思想很简单，就是枚举所有的可能的情况，自然而然复杂度就很高啦，一看就是 $o(n^{2})$ ,不建议这样，这只是一种笨方法，而且运行时还超时了，这是最关键的。那自然而然我们要想其他方法。

第二种方法：动态规划（极力推荐）

思路：

最大和连续子数组一定有如下几个特点：

1、第一个不为负数

2、如果前面数的累加值加上当前数后的值会比当前数小，说明累计值对整体和是有害的；如果前面数的累加值加上当前数后的值比当前数大或者等于，则说明累计值对整体和是有益的。

步骤：

1、定义两个变量，一个用来存储之前的累加值，一个用来存储当前的最大和。遍历数组中的每个元素，假设遍历到第i个数时：

①如果前面的累加值为负数或者等于0，那对累加值清0重新累加，把当前的第i个数的值赋给累加值。

②如果前面的累加值为整数，那么继续累加，即之前的累加值加上当前第i个数的值作为新的累加值。

2、判断累加值是否大于最大值：如果大于最大值，则最大和更新；否则，继续保留之前的最大和

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class Solution:
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        maxsum = nums[0]
        presum = 0
        for i in range(len(nums)):
            if presum<0:
                presum = nums[i]
            else:
                presum+=nums[i]
            if presum>maxsum:
                maxsum = presum
        return maxsum

时间复杂度：很容易看出，这个算法的时间复杂度为 $o(n)$ 。

最后提一下，还有一个算法的时间复杂度为 $o(nlogn)$ ，这个算法是分治法。这里就不做阐述了。