上帝与集合的正确用法 题解（扩展欧拉函数）

首先介绍一下欧拉函数和扩展欧拉定理（phi指的是欧拉定理）

	 a^b = a^(b%phi(p)) gcd(a,p) == 1 (mod p)
     a^b          gcd(a,p) != 1 b < phi(p) (mod p) 
     a^(b%phi(p)+phi(p)) gcd(a,p) != 1 b >= phi(p) (mod p) 

本题用到的就是三式

cal函数为求出这个式子对p取mod的结果

开始时设底数为2，指数为2的2次方的2次方…… ，cal（原式）的结果为w，应用公式，cal（原式） = 2 ^ （剩余数%phi（p）+ p）。

所以结果为2的（剩余数%phi（p）+ p），可以用快速幂求出，而指数部分的（剩余数%phi（p））仍可以按上述方法求解，于是递归求解即可

注意:当p == 1时，对1取mod应返回0，即为终止条件，输出即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ksm(ll x, ll y,ll mode)
{
    ll ans = 1;
    while(y)
    {
        if(y % 2 == 1)
        {
            ans = ans * x % mode;
        }
        x = x * x %mode ;
        y = y/2;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll x)
{
    ll ans = x;
    for(ll i = 2 ; i * i <= x ;i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
            } 
        }
    }
    if(x != 1) 
    {
        ans = ans / x * (x - 1);
    }
    return ans;
}
ll cal(ll x)
{
    if(x == 1)
    {
        return 0;
    }
    ll t = phi(x);
    return ksm(2,cal(t) + t, x);
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    ll p;
    for(int i = 1;i <= t;i++)
    {
        scanf("%lld", &p);
        printf("%lld\n",cal(p));
    }
    return 0;
}
/*  a^b = a^(b%phi(p)) gcd(a,p) == 1 (mod p)
          a^b          gcd(a,p) != 1 b < phi(p) (mod p) 
          a^(b%phi(p)+phi(p)) a,p 可以不互质 b >= phi(p) (mod p) 
*/