题目链接
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884
分析
扩展欧拉定理裸题
欧拉定理及证明:
如果\((a,m)=1\),则\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m\)
\(Prove:\)设\(x\)取遍\(m\)的缩系,则\(ax\)取遍\(m\)的缩系,即
\[\prod x = \prod ax \mod m\]
因为这样的\(a\)有\(\phi(m)\)个
\[\prod x = \prod x *a^{ \phi(m)} \mod m\]
由于\((x,m)=1\),保证\(\prod x\) 存在模\(m\)意义下的逆元
所以 \[a^{ \phi(m)} \equiv 1 \mod m\]
扩展欧拉定理:
如果 \[(a,m)!=1\]
则 \[a^b \equiv a^{min(b,b \% \phi(m)+\phi(m))} \mod m\]设\(f(x)\)为在模\(x\)意义下题目式子的值,那么\[f(x)=2^{2^{^{...}}\%\phi(x)+\phi(x)} \mod x=2^{f(\phi(x))+\phi(x)} \mod x\]
然后就可以记忆化搞一搞了
注意
求欧拉函数可以线性预处理也可以直接求,实践证明直接求不知道快到哪里去了
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#define ll long long
#define ri register int
using std::sort;
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=10000005;
const int inf=0x7fffffff;
int t,n;
int mem[maxn];
int phi[maxn];
bool vis[maxn];
inline void get_table(){
bool is_pri[maxn];
int num[1000005],tot=0,tmp;
memset(is_pri,0,sizeof(is_pri));
is_pri[1]=1;
phi[1]=1;
for(ri i=2;i<=maxn;i++){
//printf("%d\n",i);
if(!is_pri[i]){
num[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(ri j=1;j<=tot;j++){
tmp=num[j]*i;
if(tmp>=maxn)break;
is_pri[tmp]=1;
if(i%num[j]==0){
phi[tmp]=num[j]*phi[i];
break;
}
else {
phi[tmp]=(num[j]-1)*phi[i];
}
}
}
return ;
}
inline int get_phi(int x){
int res=x;
for(ri i=2;i*i<=n;i++){
if(x%i==0){
res=res/i*(i-1);
while(x%i==0)x=x/i;
}
}
if(x>1)res=res/x*(x-1);
return res;
}
int ksm(ll x,int c,int p){
ll ans=1,res=x;
while(c){
if(c&1)ans=ans*res%p;
res=res*res%p;
c=c>>1;
}
return ans%p;
}
int f(int x){
if(x==1)return 0;
if(vis[x])return mem[x];
int p=phi[x];//int p=get_phi(x);
vis[x]=1;
mem[x]=ksm(2,f(p)+p,x);
return mem[x];
}
int main(){
read(t);
get_table();
while(t--){
read(n);
printf("%d\n",f(n));
}
return 0;
}