【扩展欧拉定理】洛谷P4139 上帝与集合的正确用法

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$Description$

求 $2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}} mod\ p$
$p\leq 10^7$

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$Solution$

根据扩展欧拉定理
$a^b\equiv \begin{Bmatrix} a^{b\ mod\ \varphi(p))} & gcd(a,p)=1\\ a^b & gcd(a,p)\neq 1,b<\varphi(p))\\ a^{b\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p))} & gcd(a,p)\neq 1,b\geq\varphi(p) \end{Bmatrix} (mod\ p)$

根据第三条性质，我们就可以递归求 $2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}$

设 $f(p)=2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}} mod\ p$，得到 $f(p)=2^{f(\varphi(p))+\varphi(p)}$

$\varphi(p)$用线性筛即可

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$Code$

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e7;
int t,phi[N+1],v[N+1],prime[N+1],m,p;
inline long long ksm (long long x,int y,int P)
{
	long long ans=1;
	for(;y;y>>=1,(x*=x)%=P) if(y&1) (ans*=x)%=P;
	return ans%p;
}
inline int solve(int x)
{
	if(x==1) return 0;
	return ksm(2,solve(phi[x])+phi[x],x);
}
signed main()
{
	scanf("%d",&t);
	phi[1]=1;
	for(register int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			v[i]=i;prime[++m]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(register int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(prime[j]>v[i]||prime[j]*i>N) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
		}
	}
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&p);
		printf("%d\n",solve(p));
	}
}