扩展欧拉定理--luoguP4139 上帝与集合的正确用法

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扩展欧拉定理

据说可以用来解决循环节问题

循环又分纯循环和混循环

纯循环：

如ax%b 它的循环节就是b/gcd(a,b)，那么x在[0,b)之内就有gcd(a,b)个取值

（a，b互质就是纯循环，不互质就是混循环）

混循环：

循环节前面的一段尾巴来自于共有的约数p，是log级别的

循环节长度是phi(b)的约数

这道题就是一个扩展欧拉定理的应用

当a，b互质的时候它是一个纯循环，就可以直接把指数不断%phi(p)

当a，b不互质的时候，要把指数%phi(p)再加上phi(p)（当指数大于phi(p)时）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 1000001
#define LL long long
using namespace std;
int t,p,cnt;
LL pri[700000],phi[maxn];
bool vis[maxn];

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}

inline void get_phi(){
	vis[1]=1; phi[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt && i*pri[j]<maxn;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
		}
	}
}

inline LL qpow(LL x,int k,int mod){
	LL ret=1;
	while(k){
		if(k&1) (ret*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod; k>>=1;
	} return ret;
}

inline LL solve(int p){
	if(p==1) return 0;
	return qpow(2,solve(phi[p])+phi[p],p);
}

int main(){
	t=rd();
	get_phi(); cout<<cnt<<endl;
	while(t--){
		p=rd();
		printf("%lld\n",solve(p));
	}
	return 0;
}