递归牛顿-欧拉方法（Recursive Newton-Euler Method）是一种高效的动力学计算方法，尤其适用于串联多刚体系统，例如串联机械臂。递归牛顿-欧拉方法有正和逆两种形式，本文我们先来看正动力学。正动力学又称为前向动力学，如果给你机器人各关节的力矩后，通过正动力学可以求出机器人的运动。在这里，机器人的运动指各个关节（或者各连杆）的位置、速度和加速度。
下面的算法来自于论文《Lie Group Formulation of Articulated Rigid Body Dynamics》，我们更正了原文中的一处小错误。该算法使用了李群和李代数表示机器人连杆的坐标、速度和受力，其优点是形式简洁、线速度和角速度可以合写在一块，力也是如此，并有清晰的数学含义。该算法适用于三维空间，每一步正动力学计算过程包含三个递归子过程：1. 前向计算连杆的位姿和速度；2. 反向计算连杆系的广义惯量和偏置力；3. 前向计算加速度。在定义连杆的记号时，通常将固定的基座记为 0，与基座相连的连杆记为1，与连杆1相连的下一个连杆记为2，依次类推。这里把从基座开始向机械臂末端的方向称为前向（i 到 i+1），把机械臂末端到基座的方向称为反向（i 到 i-1）。
具体实现（Mathematica代码）
(*Initialization 部分参数初始化*)
time = 2000; dt = 0.005;
Table[mass[i] = 1; Gravity[i] = grav*mass[i]*{0, 0, -1, 0, 0, 0}, {i, 0, n, 1}];
Table[g[i, i + 1, 0] = RPToH[Id[3], {0, 0, (La[i] + La[i + 1])/2}], {i, 0, n - 1, 1}];
q = dq = ddq = ConstantArray[0, n];
Table[V[i] = dV[i] = ConstantArray[0, 6], {i, 0, n, 1}];
Table[M[i] = Id[6]; \[Tau][i] = 0, {i, n}];
F[n + 1] = ConstantArray[0, 6];
g[n, n + 1] = g[0, 0] = Id[4];
q = ConstantArray[Pi/2, n];
\[CapitalPi][n + 1] = Id[6]*0.0;
\[Beta][n + 1] = ConstantArray[0, 6];
Table[
qList = {qList, q};
gList = {gList, g[0, 4]};
(*Forward 前向递归*)
dq = dq + ddq*dt; (*欧拉积分*)
q = q + dq*dt;
For[i = 1, i <= n, i++,
g[i - 1, i] = TwistExp[\[Xi]r[i], q[[i]]].g[i - 1, i, 0];
g[0, i] = g[0, i - 1].g[i - 1, i];
V[i] = Ad[Iv[g[i - 1, i]]].V[i - 1] + \[Xi]s[i]*dq[[i]];
\[Eta][i] = ad[V[i] - \[Xi]s[i]*dq[[i]]].\[Xi]s[i]*dq[[i]];
];
(*Backward 反向递归*)
For[i = n, i >= 1, i--,
\[Tau][i] = 0;
Mh[i] = M[i] + T[Ad[Iv[g[i, i + 1]]]].\[CapitalPi][i + 1].Ad[Iv[g[i, i + 1]]];
Fext[i] = T[Ad[RPToH[R[g[0, i]], {0, 0, 0}]]].Gravity[i];
\[ScriptCapitalB][i] = -T[ad[V[i]]].M[i].V[i] - Fext[i] + T[Ad[Iv[g[i, i + 1]]]].\[Beta][i + 1];
\[CapitalPsi][i] = 1/(\[Xi]s[i].Mh[i].\[Xi]s[i]);
\[CapitalPi][i] = Mh[i] - \[CapitalPsi][i]*KroneckerProduct[Mh[i].\[Xi]s[i], \[Xi]s[i].Mh[i]];
\[Beta][i] = \[ScriptCapitalB][i] + Mh[i].(\[Eta][i] + \[Xi]s[i]*\[CapitalPsi][i]*(\[Tau][i] - \[Xi]s[i].(Mh[i].\[Eta][i] + \[ScriptCapitalB][i])));
];
(*Forward 前向递归*)
For[i = 1, i <= n, i++,
ddq[[i]] = \[CapitalPsi][i]*(\[Tau][i] - \[Xi]s[i].Mh[i].(Ad[Iv[g[i - 1, i]]].dV[i - 1] + \[Eta][i]) - \[Xi]s[i].\[ScriptCapitalB][i]);
dV[i] = Ad[Iv[g[i - 1, i]]].dV[i - 1] + \[Xi]s[i]*ddq[[i]] + \[Eta][i]];
, {t, time}]; 仿真结果
我们首先以简单的 4 个连杆组成的机械臂为例进行仿真试验，连杆之间用转动关节连接，机器人初始时刻处于水平的静止状态，所有关节的力矩设为0。理论上机器人应该在重力作用下自由下落，我们看看用正向动力学步骤计算得到的仿真结果是什么样的。结果如下动画所示（只显示了Y-Z平面）。从结果看好像是对的，但是我还不敢100%保证。
正确性验证
为了验证算法的正确性，我和第三方的仿真软件进行对比。这里我选取了Working Model软件（是一款商业的二维动力学仿真软件）。在Working Model中设置相同的参数和初始状态，仿真过程如下图所示。
我们选择末端连杆（也就是第4个连杆）质心的Y坐标（重力加速度的反方向）进行对比，结果如下图左所示。二者的误差（下图右）在-0.001m~0.001m之间。考虑到每个连杆的长度为10cm，误差<1mm 说明我们算法基本是正确的。因为都是数值计算，有误差应该是正常的。至于为什么误差在0.5mm这个量级，这可能和我们采用的积分方法有关。在上面的算法中，我们采用了最简单的欧拉积分。而在Working Model中，因为这个软件不是开源的，我们也看不到它的积分方法是怎样实现的。不过我们倒是可以设置，在Edit菜单下的Accuracy选项中即可选择积分方法并设置积分步长。
下图中的例子是10自由度的连杆同样只在重力作用下（关节力矩为0）的运动，只是初始状态不同，而且每相邻的两个关节旋转轴相互垂直。有没有闻到一丝混沌（Chaos）的味道 
